专题03 立体几何之向量法与几何法求二面角-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

立体几何之向量法与几何法求二面角

方法一、向量法求二面角

1．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．

（1）求点B到直线AC1的距离；

（2）求直线FC到平面AEC1的距离；

（3）求平面AEC1与平面CFEC1夹角的余弦值．

2．如图：已知三棱柱，平面平面，，，，E，F分别是AC，的中点.

（1）求直线EF与平面所成角的余弦值；

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

3．如图，平面，，，，，，，则

（1）求与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值.

4．如图所示，四棱锥中，底面，，是边长为的正三角形，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

5．如图，在三棱台中，平面平面，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

6．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．

（1）求证：EB∥平面PCD；

（2）求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值．

7．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.

（1）若点是的中点，求证：；

（2）设棱上靠近的四等分点为，求二面角的余弦值.

8．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

9．在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求二面角的余弦值.

10．已知直三棱柱，，，，分别为，，的中点，且

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

11．如图所示的几何体中，四边形为菱形，面面，为等边三角形，，.

（1）在线段上确定一点，使得面，并给出证明过程；

（2）若平面，求二面角的正弦值.

12．如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．E为PD的中点，，，，．

（1）求证：平面PAB；

（2）求平面PAC与平面ACE的夹角的余弦值．

14．在平行四边形EABC中，，，，是EA的中点（如图1），将沿CD折起到图2中的位置，得到四棱锥是.

（1）求证：平面PDA；

（2）若PD与平面ABCD所成的角为60°.且为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成角的余弦值.

15．如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，分别在和上，且．

（1）若在上，且平面，求证：平面;

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

16．如图所示，矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，点是边上一点，，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

17．在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）已知平面平面，求二面角的余弦值.

18．如图1，矩形ABCD中，，将矩形ABCD折起，使点A与点C重合，折痕为EF，连接AF、CE，以AF和EF为折痕，将四边形ABFE折起，使点B落在线段FC上，将 向上折起，使平面DEC⊥平面FEC，如图2.

（1）证明：平面ABE⊥平面EFC；

（2）连接BE、BD，求锐二面角A-BE-D的正弦值.

19．如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=，且BCCD，以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合).

（1）求证：EFBD；

（2）若平面EBD平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60°，求二面角A-BE-D的余弦值.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

方法二、几何法求二面角

1．如图，在四棱锥中，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

2．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．

3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上一点．

（1）证明：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值．

4．如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，点在上，且平面

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）求二面角所成角的余弦值．

5．在四棱锥中，底面为梯形，，为正三角形，且，，四棱锥的体积为．

（1）求证：平面；

（2）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；

（3）设平面平面，求证：，并求二面角的大小．

6．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.

（1）求证：AB1⊥平面A1BD；

（2）求直线A1C1与平面A1BD所成角的正弦值；

（3）求平面A1BD与平面A1DC1的夹角的正弦值.

7．已知多面体如图所示，其中四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，点在线段上．

（1）求证：平面；

（2）若，，，且，求二面角的余弦值．

8．如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且， 分别为和的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的正切值.

9．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，若平面ABD，且.

（1）求证：平面ABD；

（2）求二面角的余弦值大小.

10．如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）求多面体的体积；

（3）若点是线段上的一点，且满足平面.求二面角的大小.

11．如图，在四棱锥中，平面，在直角梯形中，，为线段的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；

（3）若，求二面角的平面角余弦值.

12．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.

（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；

（2）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.

13．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香､驱虫､开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊

（1）若，求图2六面体的表面积；

（2）求二面角所成角的大小.

14．已知直三棱柱中，，，直线与平面成的角.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求二面角的余弦值.

15．如图所示的几何体由三棱锥和正四棱锥拼接而成，平面，，，，，O为四边形对角线的交点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

16．如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.

（1）求证：；

（2）求异面直线与BE的距离；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

17．在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC;

（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点.

①求AM与平面PBC所成角的正切值；

②求二面角的大小.

18．如图，在直三棱柱中，，，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值大小.

19．如图，在正方体中，棱长为2.

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

20．如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）求二面角所成角的余弦值．