湖北省咸宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题及参考答案

这是一份湖北省咸宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题及参考答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
咸宁市2022—2023学年度下学期高中期末考试高二数学试卷本试卷共8页，时长120分钟，满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则的模为（    ）A.1 B. C. D.22.已知集合，，，则（    ）A. B. C. D.3.“”是“，，成等比数列”的（    ）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件4.随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价（百元）和月销售量（百辆）之间的一组数据，如下表所示：价格9.69.91010.210.3销售10.29.38.48.0根据计算可得与的经验回归方程是：，则的值为（    ）A.8.8 B.8.9 C.9 D.9.15.除以8的余数为（    ）A.0 B.2 C.4 D.66.已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）A. B. C.2 D.7.已知正实数，，满足，则，，的大小关系是（    ）A. B. C. D.8.已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式成立的有（    ）A. B. C. D.10.已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）A.椭圆的离心率为  B.的最大值为4C.的最大值为3 D.的最大值为60°11.已知正四棱柱的底面边长为4，，点，，分别为，，的中点，点为底面（包括边界）上的动点，则（    ）A.存在点，使得，，，共面B.存在点，使得面C.若，则的轨迹长度为D.四面体的体积为定值12.已知点为图象上一点，点为图象上一点，为坐标原点，设，的夹角为，则（    ）A.的最小值为 B.的最大值为C.若，则 D.若为等边三角形，则的面积三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为______.14.已知为坐标原点，若直线：和：交于点，则的值为______.15.已知（），若在处取到最大值为，则______.16.若对任意，，恒有，则正整数的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，角，，的对边为，，，已知，且.（1）若，求；（2）证明：18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，为等边三角形，且.（1）求证：；（2）若面面，且，求与面的夹角的正弦值.19.（本小题满分12分）某中学举行春季研学活动，为了增加趣味性，在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏，在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球2个，黄球2个，蓝色球1个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当三种颜色的球都至少有一个被取出时，停止取球，游戏结束，取球次数最少将获得奖励.（1）求盒子里恰好剩下一个红球的概率；（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为，求的分布列与数学期望.20.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，若，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.21.（本小题满分12分）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.（1）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；（2）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.22.（本小题满分12分）已知，过点（）作图象的切线.（1）求切线的斜率的最大值.（2）证明：切线与在第一象限仅有一个交点，且.        咸宁市2022—2023学年度下学期高中期末考试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. C【解析】，故，选C.2. A【解析】由题可知：，，，则.3. B【解析】若，，成等比数列，则；若，令，满足，但此时，，不构成等比数列，故答案选B.4. D【解析】价格平均，则，销售量，解得.5. D【解析】因此除以8的余数为6.答案选D.6. B【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，设球的半径为，圆台上下底面的半径为，，注意到与均为角平分线，因此，从而，故，则.7. D【解析】，，，作出，，，在上的图象，如图所示，其中恒成立，故图象在的下方，由图象可知.故选D.8. B【解析】设，，，由，在轴上方，故，，，注意到，故，即，又，代入可得，故，即，解得，因而.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. BD【解析】由得，令，可知A，C错误；而，，因此，故B正确；因为在上为递增函数，由得，故选项D正确.10. BCD【解析】由椭圆方程得，，，因此，.选项A中，，，故，A错误；选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；选项C中，令，则，故C正确；选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时，则，，的最大值为60°，D正确.11. AC【解析】对于选项A，当为时，，，，共面，故A正确；对于B选项，在面上的投影不可能与垂直，因此不垂直于，从而B错误；对于C选项，取，的中点，，当在上时，在面上的投影为，而，且，因此，即的轨迹即为，且其长度为，故C正确；对于D选项，由于面与面不平行，因此体积不为定值.12.ABC【解析】对于A选项，注意到与关于对称，设为到直线的距离，为到直线的距离，则，注意到，，，从而，当且仅当，时取到最小值，故A正确；对于B选项，当直线与相切，直线与相切时，此时的夹角为最小，计算可知，设，，则；对于C选项，当时，当时，，故；当时，注意到，从而，也即，构造函数，，故在上单调递增，又，从而，因此，对于D选项，依题意可知，，两点关于对称，此时，，因此，因此.故选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0.75  【分析】本题考查了条件概率的计算公式，属于简单题.【解析】，即，故.14. 2  【解析】直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而，当时，易求得，此时，综上可知，.15.  【解析】，其中，依题意，故，此时，且，因此.16. 4  【解析】易知等价于.令（），则.令得，则在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令（），则.令，.当时，在，，此时，必有成立.故考虑，则在上单调递减，在上单调递增，故有最小值.若成立，只需，即，即.两边取自然对数可得，即求最大的使得，当时，不等式转化为.令，本题即求使得的最大的正整数.恒成立，则在上单调递減.因为，，的最大正整数为4.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）依题意，，即，由正弦定理可知，，即，从而，故（2）由（1）可知，，由余弦定理可得：，即，则，又，故，从而.18.【解析】（1）证明：取中点，因为，故，又因为，从而面，即，因为为的中点，从而.（2）平面平面，平面平面，且，故面，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，而，从而，易得，，，，可得，设面的法向量，则，即，令，则，又，设与面的夹角为，则.19.【解析】（1）依题意，设事件：盒子恰好剩下一个红球，前三次只能取两种颜色的球，第四次取第三种颜色的球，因此第四次取球只能是红色球或者蓝色球，从而.（2）的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012.20.【解析】依题意，可知（），当时，由，可知，由，可得两式相减可知，，即（），因此时，，即.（2）由（1）可知，，，当时，，因此（），.21.【解析】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，即，故双曲线：，不妨设：，则设：，联立，可得，联立可得，联立可得，从而.（2）如图，延长，分别交渐近线于，两点，由（1）可知，则，设，则：，联立解得，而：，联立解得，从而.设的倾斜角为，则，而，故，则，因此.22.【解析】（1）当时，，则，直线的切线的斜率，设，，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增；因此，即.（2）依题意：，则切线与在第一象限仅有一个交点，即方程仅有一个正数解；即函数（）仅有一个零点，，，故单调递增，则，由（1）可知在上单调递減，在上单调递增；因此，从而，即单调递增；注意到，，设，则，故在上单调递减，在上单调递增；因此，因此，故存在，使得，从而.