2023年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，该圆柱体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将亿个用科学记数法表示为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图在中，，，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：关于以上数据，说法正确的是(    )

A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差

7.  已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程的常数项是，则的值(    )

A.  B. 或 C.  D.

9.  如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，已知矩形的长为，宽为，是边上的一个动点，，交于点设，，则点从点运动到点时，能表示关于的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有(    )
；；关于的方程有两个不相等实数根；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  计算：______．

14.  大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为          ．

 

15.  用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是          ．

16.  如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为______．

17.  在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、、正方形，使得点、在直线上，点、在轴正半轴上，则点的横坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  先化简，再求值：，其中满足．

四、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：、跑步，、跳绳，、做操，、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
本次调查学生共______ 人，______，并将条形图补充完整；
如果该校有学生人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
学校让每班在、、、四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．

20.  本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
求证：≌；
连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

 

21.  本小题分

为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多万元，且用万元恰好能购买套型一体机和套型一体机．

求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元？

该市明年计划采购型、型一体机共套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

22.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．

 

23.  本小题分
小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图所示的图象．

请根据图象解答：
【观察发现】若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______ 填“一定”或“不一定”；
【延伸探究】如图，将过，两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线与函数的图象交于点，连接，．
求当时，直线的表达式和的面积；
直接用含的代数式表示的面积．

 

24.  本小题分
如图，是直径，弦，垂足为点弦交于点，点在延长线上，且．
求证：为切线；
若，，，求的长．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点。
求，两点的坐标；
求抛物线的解析式；
若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值。

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
倒数：乘积是的两数互为倒数．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该圆柱体的左视图是：

故选：．
先细心观察原立体图形，是一个圆柱，所以它的左视图是矩形．
本题考查了圆柱的三视图，应熟练掌握：圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查一个大于的数用科学记数法表示的方法．表示时关键要正确确定的值以及的值．
根据科学记数法的表示方法即可得到答案．
【解答】
解：亿个用科学记数法可表示为：个．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
由三角形外角性质，可得，
又，
，
故选：．
依据三角形内角和定理，可得的度数，再根据三角形外角性质以及平行线的性质，即可得到的度数．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、甲的众数为，乙的众数为，故原题说法错误，不合题意；
B、甲的中位数为，乙的中位数为，故原题说法错误，不合题意；
C、甲的平均数为，乙的平均数为，故原题说法错误，不合题意；
D、甲的方差为，乙的方差为，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确，符合题意；
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数；，进行计算即可．
此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组仅有三个整数解，可得答案．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于的不等式是解题关键．
【解答】
解：解不等式组得：，
由关于的不等式组仅有三个整数：
可得：，
解得，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据常数项为及一元二次方程的定义解答即可．
【解答】
解：由题意，得且，
解得，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，进一步利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题可知：

整理得，

，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故A错；
：二次函数开口向上，说明，所以，故一次函数与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故C正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：．
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于时开口向上，当小于时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
【解答】

解：，，
．
，
，
，
．
又，
∽，
，
即，
整理得：
与的函数关系式为：
由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．
故选A．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，所以正确；
与轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
时，且，
即，
，所以错误；
抛物线与轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等实数根，所以正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，所以正确．
故选C．
根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性以及由时可判断；由抛物线与轴有两个交点，且顶点为，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程，根的判别式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
【解答】
解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
点落入黑色部分的概率为，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得．
估计黑色部分的总面积约为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算，理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，从而列出方程是解决问题的关键．
设这个圆锥的底面圆的半径为，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】
解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
由题意得：，
解得：，
这个圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值即为的长度，
四边形为矩形，
，，
在中，，，
，
，
由对称的性质可知，，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是直角三角形，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，可得出：，，，，，
，，，，，
为正整数，
点的坐标是．
故答案为：．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“为正整数”，依此规律代入即可得出点的横坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
，
，
则． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
本题考查分式的化简求值．
 

19.【答案】解：，；
图形如下：

人，
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有人；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
用类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用分别减去、、类的百分比即可得到的值，然后用乘以总人数得到类人数，再补全条形统计图；
用乘以类的百分比即可．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为：，；
，见答案  

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
当平分时，四边形是菱形，

理由：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，即，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据四边形是平行四边形，可以得到，，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立；
根据平分和平行四边形的性质，可以证明▱是菱形，从而可以得到，然后即可得到，再根据题目中的条件，可以证明四边形是平行四边形，然后根据，即可得到四边形是菱形．
 

21.【答案】解：设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套型的价格各是万元、型一体机的价格是万元；

设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套，
由题意可得：，
解得：，
设明年需投入万元，

，
，
随的增大而减小，
，
当时，有最小值，
故该市明年至少需投入万元才能完成采购计划． 

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．
直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多万元，且用万元恰好能购买套型一体机和套型一体机，分别得出方程求出答案；
根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
 

22.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】不一定 

【解析】解：假设，则，
，
，
，
不一定成立，
故答案为：不一定；

设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，直线的解析式为，
设直线与轴交于，

则的面积的面积，
，
的面积为；

设直线与轴交于，
，
的面积的面积，

由题意知，，


．
的面积为．
假设，则，再根据求出的值，可知不一定成立；
首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为，设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；
设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
 

24.【答案】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为切线；

解：如图，连接，过点作，垂足为，
是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
的长为． 

【解析】连接，由，，得到，即可证明；
连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用∽，即可求出的长．
本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
 

25.【答案】解：如图，的坐标为


故点、的坐标分别为、
抛物线的表达式为：
把代入得：
，解得：
故抛物线的表达式为：
直线过点，设其函数表达式为：
将点坐标代入上式并解得：
故直线的表达式为：
过点作轴的平行线交于点



轴

设点，则点


有最大值
当时，其最大值为
此时点 

【解析】求出，由，即可求解；
设抛物线的表达式为：，将点坐标代入即可求解；
求出直线的表达式，过点作轴的平行线交于点，则，即可求解。