2023年广东省深圳市南山区育才三中中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山区育才三中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数为(    )

A.  B.  C. 或 D.

2.  下列图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约万度的清洁电力将万度用科学记数法可以表示为(    )

A. 度 B. 度 C. 度 D. 度

4.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列命题是假命题的是(    )

A. 如果，，那么
B. 对顶角相等
C. 如果一个数能被整除，那么它也能被整除
D. 内错角相等

6.  如图，直线，是等边三角形，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  使代数式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  袋子里有个红球，个白球，个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知锐角，如图，按下列步骤作图：在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接以为圆心，长为半径画，交于点，连接则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，为边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接交于点若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：________．

12.  如图，平行四边形中，，，平分交的延长线于点，则______．

13.  正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，则等于______ ．

14.  在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为______米．

15.  如图，点，在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点若是的中点，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

18.  本小题分
初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣，并将调查结果绘制成图和图的统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
此次抽样调查中，共调查了______名学生；
将图补充完整；
求出图中级所占的圆心角的度数；
根据抽样调查结果，请你估计该市近名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？达标包括级和级

 

19.  本小题分
已知：中，，．
尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点保留作图痕迹，不写作法；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值．
条件：和的面积为和，且：：；
条件：和的周长为和，且．
 

20.  本小题分
冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元；顾客乙买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元．
羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共斤，且羊腿的重量不少于斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利元，每斤羊排可盈利元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？

21.  本小题分
图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
 

在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数的图象如图所示．
观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则此时函数的图象的最低点的坐标为______．
探索思考：将函数的图象再向上平移个单位可以得到新的函数，请在网格图中画出函数的图象，并求出当时，函数的最小值．
拓展应用：将函数的图象继续平移得到函数的图象，其最低点为点．
用表示最低点的坐标为______；
当时，函数有最小值为，求此时的值．

22.  本小题分
矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点．
【特例证明】如图，当时，求证：；
【类比探究】如图，当时，求的值用含的式子表示；
【拓展运用】如图，当时，为边上一点，连接，，，，则的长为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查了用科学记数法表示一个数的方法：
确定：是只有一位整数的数；
确定：当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数含整数位数上的零．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式法则和完全平方公式判断即可．
本题主要考查同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式法则和完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被整除，那么它也能被整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：．
利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：

是等边三角形，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出对顶角的度数，即可得到答案．
本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到．
 

7.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故选：．
分母不等于零且被开方数是非负数，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
 

8.【答案】 

【解析】解：袋子里有个红球，个白球，个黑球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能大于观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由作法得，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质计算的度数．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
将沿折叠，点的对应点落在边上，
，，垂直平分，
，，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，，由折叠得，，垂直平分，所以，，再证明∽，得，则，再证明∽，得，则，所以，则．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，平分，
，
平行四边形中，，，
，，
又对顶角相等，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边的性质可得，，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．
本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正六边形的一个内角为：，
正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，
正边形一个外角为：，
．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于，再根据多边形的外角和是即可解答．
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
，
，
即，
解得：，舍去，
线段的长为米．
故答案为：
根据，建立方程求解即可．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作，过作，分别交于点，，连接，

则：，
∽，
，
为的中点，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
即：，
，
，
，
，
，
，是的中点，则，
，
．
故答案为：．
过作，过作，连接，得到∽，根据的几何意义和为的中点，得到，再根据的面积为，求出的面积即可得解．
本题考查已知图形的面积求值，熟练掌握的几何意义，构造与有关的几何图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的化简法则、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算．
 

17.【答案】解：




，
，
，
当时，
原式． 

【解析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
 

18.【答案】解：；
级人数：人．
条形统计图如图所示：

所占圆心角度数．
名．
答：估计该市初中生中大约有名学生学习态度达标． 

【解析】

解：人；
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为级的有人，占部分八年级学生的，即可求得总人数；
由可知：级人数为：人，将图补充完整即可；
各个扇形的圆心角的度数该部分占总体的百分比，所以可以先求出：；
从扇形统计图可知，达标人数占得百分比为：，再估计该市近名初中生中达标的学习态度就很容易了．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

19.【答案】解：图形如图所示：

选择条件，过点作于点．
，
，
，
，，
：：，
：：，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
．
选择条件，，
，
又，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
作线段的垂直平分线，垂足为就是线段的中点，连并延长，交于点；
选择条件，过点作于点由，推出，设，则，，利用勾股定理求出，可得结论；
选择条件由，，推出，由，推出，推出，设，则，，利用面积法求出，可得结论．
 

20.【答案】解：设羊腿的售价每斤为元，羊排的售价每斤为元，根据题意，得：
，解得，
答：羊腿和羊排的售价分别是元，元；
设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元，
根据题意，得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，，
此时，斤，
答：超市老板应该购进斤羊腿，斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价；
设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元，根据题意得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
 

21.【答案】解：；
将函数的图象再向上平移个单位可以得到新的函数，如图：

当时，取到最小值，最小值为；
；
若，
当时，有最小值，
；
舍或；
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
；
舍或；
综上所述，或． 

【解析】由图象可得；
通过观察图象可得；
观察图象可知最低点的坐标；
分三种情况讨论求得即可．
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】证明：如图，在上截取，连接，

，
，
，，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
；

解：在上截取，连接．

，，
，
，
平分，，
．
，
，
，
，
，
∽，
，
，是边的中点，
，
，
；

解：连接，延长、交于，

当时，设，则，
设，则，
，，
是等腰直角三角形，
，
作交，
，，
，
，
≌，
，，
作交延长线于，
四边形是矩形，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，即可求解；
在上截取，连接证明∽，即可求解；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可证，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．