2023年河南省商丘市夏邑县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市夏邑县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，新华社发文总结年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度米；中国高铁运营里程超米；“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至米；中国嫦娥五号带回月壤重量克．其中数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

6.  为了解居民用水情况，小丽在自家居住的小区随机抽查了户家庭月用水量，统计如表；则这户家庭的月用水量的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

9.  如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的函数关系图象，其中为曲线部分的最低点下列说法错误的是(    )

A. 是等腰三角形 B. 边上的高为
C. 的周长为 D. 的面积为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是        ．

12.  不等式组的解集为          ．

13.  小明制作了如图所示的四张卡片四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是        ．

 

14.  如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在格点上，点是边的中点，格点在上，则图中阴影部分的面积为______．

15.  如图，矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，______．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：

17.  本小题分
发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是的倍数．
验证：
结果是的几倍？
设三个连续的整数中间的一个为，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是的倍数；
延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是的倍数．

18.  本小题分
某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间：分钟分成五个时间段进行统计：，，，，并制成如下两幅不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：
求的值并补全条形统计图；
在扇形统计图中，时间段所占的百分比为______，时间段所对应的圆心角的度数等于______．
小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段请你分析她的推断是否合理．

19.  本小题分
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活；如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的横梁，，交于点点、、在同一水平线上参考数据：，，，
求屋顶到横梁的距离；
求房屋的高结果精确到．

20.  本小题分
如图，在中，，作的角平分线交于点，以为圆
心，为半径作圆．
依据题意补充完整图形：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
求证：与直线相切；
在的条件下，若与直线相切的切点为，与相交于点，连接，；其中，，求的长．

21.  本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点，点．
求二次函数的表达式和顶点坐标．
点在该二次函数图象上，当时，求的值．
已知，，若将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，请结合图象，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，边长为的正方形中，点为边上一个动点，连接，作于点，交边于，交边于．
求证：；
如图，连接，线段交于点，点为的中点．
当时，求的长；
线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B.俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C.俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D.俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．  

6.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，
，，
由得，
，
，
，
，
故答案为：．
在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
根据反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，
，
当时，，
则的坐标与的坐标相同，
，
则，
如图，过点作于，过点轴于点，

，，
≌，
，，
正六边形的一个外角，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由于正六边形每次转，根据，则的坐标与的坐标相同，求得的坐标即可求解．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正六边形的性质，正多边形的外角和，内角和，求得的位置是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．
由图形和图象可得，时，
过点作于，则
，
，
的周长为：，


故选项A、、C正确，选项D错误．
故选：．
由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．作边上的高，即能求得，即，再求得面积．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使代数式有意义，只需，
，
则实数的取值范围是，
故答案为：．
根据分式的分母不能为零求解即可．
本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不能等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若大于较小的数、且小于较大的数，那么解集介于两数之间．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数和这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有种，
这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知的中点在格点上，连接，，
由网格构造直角三角形，利用勾股定理得，
，即，
，即，
，即，
，，
，


，
故答案为：．
根据对称性可得的中点在格点上，根据网格构造直角三角形，求出、、，进而得出扇形的圆心角的度数及半径，利用
进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握勾股定理、勾股定理逆定理以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可的长．
【解答】
解：如图，若，


四边形是矩形
将沿着翻折

四边形是正方形
，
如图，若，

将沿着翻折
，，

点，点，点三点共线
，

，
，
，
若，

点不可能落在直线上，
不存在，
综上所述：或．  

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法即可；
先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：发现：，
即的结果是的倍；
设三个连续的整数中间的一个为，则最大的数为，最小的数为：
则，
又是整数，
任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是的倍数；
延伸：设中间一个数为，则最大的奇数为，最小的奇数为：
则，
又是整数，
任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是的倍数． 

【解析】通过计算可求倍数；
通过平方差公式，即可证三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是的倍数；
延伸：通过平方差公式，任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是的倍数．
本题考查了平方差公式以及有理数大小比较，熟练掌握平方差公式是本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：；
时间段的人数有：名，
时间段的人数有：名，
补全统计图如下：


；
时间段所对应的圆心角的度数等于：；
故答案为：，；

不合理，理由如下：
根据统计图不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到这组数据的众数，
她的推断不合理．
根据时间段的人数和所占的百分比，求出，再用总人数乘以、所占的百分比，即可补全统计图；
用时间段除以总人数，求出的值，再用乘以时间段所占的百分比，即可得出答案；
根据众数的定义即可得出答案．
本题考查频数分布直方图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：，，，
，
在中，，
，
答：屋顶到横梁的距离约为；
过作于，

由题意得：，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
答：房屋的高约为． 

【解析】根据题意得：，，，从而利用平行线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
过作于，根据题意可得：，，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：作图如下，

证明：过作，垂足为，如图：

，
，
平分且，
，
与直线相切．
由可知，连接，

为直径，
，
，
，
，
，
，且，
∽，
，
，，
，
，
，，
∽，
，，，
． 

【解析】根据尺规作图的规则作图即可．
根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理即可求．
先在的前提下，根据三角形相似求出圆的半径，在根据∽，求出即可．
本题考查尺规作图的方法，切线长定理及三角形相似，综合运用知识是解题关键．
 

21.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：二次函数的图象经过点，点，
把点，点分别代入，得，
解得，
二次函数的解析式为：，
又，
抛物线的顶点坐标为：；
点在该二次函数图象上，
当时，；
，，
线段轴，其中点坐标为，
若原抛物线向上平移个单位，与线段只有一个公共点时，如图，

此时，；
若原抛物线向上平移个单位，与线段只有个公共点时，且恰好为、两点，如图，

设此时抛物线的解析式为，
把或代入，求得，
，
综上所述，将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，的取值范围为． 

【解析】把点，点代入得方程组，求出，的值可得函数解析式，再把函数关系式化为顶点式即可得到顶点坐标；
把代入函数关系式即可求出的值；
分别求出抛物线与线段有一个交点和两个交点时的值即可得到的取值范围．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用数形结合是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：过点作，交于点，交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：连接，，，，

，又点为的中点，
垂直平分，
，
正方形关于对称，
，
，
点，，在以点为圆心为半径的圆上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
存在最小值和最大值，的最小值为，最大值为，
理由：由知，
是正方形的对角线，
，
当点和点重合时，，此时最小，
最小值，
当点和重合时，，此时最大，
最大值． 

【解析】过点作，交于点，交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
连接，，，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
由知，由正方形的性质可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．