2023年湖北省武汉市青山区中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2023年湖北省武汉市青山区中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为随机事件的是(    )

A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于
C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于

4.  如图是一个空心圆柱体，它的左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知点，，在反比例函数是常数的图象上，若，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，是一元二次方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，、两地相距，甲从地出发到地，乙从地出发到地甲先出发，匀速行驶，甲出发后乙再出发，乙以的速度匀速行驶后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达目的地甲、乙两人距离地的路程与时间的关系如图所示，则乙出发_____后和甲相遇(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切若的面积为，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以，类比这种方法，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共16.0分）

11.  写出一个大于小于的无理数______ ．

12.  当春时节，“好汉归来”年月日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力，用科学记数法表示是______ ．

13.  有根细木棒，长度分别为，，，，从中任选根，恰好能搭成一个三角形的概率是______．

14.  如图是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小强锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，，则、两点的距离是______ 米精确到米，参考数据：，

 

15.  函数为常数有下列结论：图象具有对称性，对称轴是直线；当时，函数有最小值；若，点，在该函数图象上，则当时，；若关于的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为其中正确的结论是______ 填写序号

16.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，将平行四边形绕点逆时针方向旋转得到平行四边形，当点落在的延长线上时，线段交于点，则线段的长度为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
已知，如图，，．
求证：；
若是的中点，直接写出的值．

19.  本小题分
北京时间年月日，神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”主题演讲比赛，比赛的成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：

被抽取的学生共有______ 人，并补全条形统计图：
本次演讲成绩的中位数落在______ 等级，扇形图中组对应扇形的圆心角为______ 度；
若该校共有名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩高于分的学生共有多少名？

20.  本小题分
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦．
如图，是的弦，作、，分别交于点、，连接，求证：、是的等垂弦；
在图中，的半径为，为等垂弦、的分割点，，求的长度．

 

21.  本小题分
在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．
在图中上找点，使平分；再在上找点，使；
在图中上找点、，使；再在下方找点，使且．

 

22.  本小题分
在一张足够大的纸板上截取一个面积为的矩形纸板，如图，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形，如图设小正方形的边长为厘米．

若矩形纸板的一边长为，
当纸盒的底面积为时，求的值；
求纸盒的侧面积的最大值；
当：：，且侧面积与底面积之比为：时，求的值．

23.  本小题分
【问题背景】
如图，在正方形中，是上一点，连接，为线段上一点不与端点、重合，且求证：且；
【类比探究】
如图，将中的“正方形”改为“矩形”，为线段延长线上一点，其他条件不变，若，探究线段与之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
在的条件下，过点作交于点，延长交边于点，若是等腰三角形，直接写出的值．

 

24.  本小题分
如图，抛物线经过点、，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．
求该抛物线的函数表达式；
点在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点的横坐标；
如图，作，交轴于点，点在射线上，且，过的中点作轴，交抛物线于点，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，所以选项符合题意，
故选：．
根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、两枚骰子向上一面的点数之和大于，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于，是随机事件，故此选项正确；
故选：．
根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，看得见的线画实线、看不见的线画虚线，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
【解答】
解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，
，
．
故选：．
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第二、四象限，所以为负数，最小，然后利用在每一象限，随的增大而增大得到与的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了反比例函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，
则原式


．
故选：．
利用根与系数的关系求出的值，原式化简后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：乙提高后的速度为：，
由图象可得：；，
由方程组，解得，
，
即乙出发小时后和甲相遇．
故选：．
由图象和已知得出解析式后联立方程组，得出，的值，即可得出答案．
本题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：设与相切于点，设正方形的边长为，
、、是切线，
，，，设，，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故选：．
设与相切于点，设正方形的边长为因为、、是切线，可得，，，设，，在中，以为，，，看到，推出，根据，构建方程求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，延长使，连接，得，

设，则，
，
故选：．
在中，，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：一个大于小于的无理数如：；
故答案为：．
根据已知和无理数的定义写出一个无理数即可．
本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查概率的计算方法．
根据题意，使用列举法可得从根细木棒中任取根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】

解：根据题意，从根细木棒中任取根，有、、；、、；、、；、、，共种取法，
而能搭成一个三角形的有、、；、、；，，；共种．
故其概率为．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，交的延长线于点，

由题意得：米，，
，
在中，米，
，米，米，
米，
是的一个外角，
，
，
，
在中，米，
、两点的距离约为米，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，根据题意可得：米，，从而可得，再在中，利用直角三角形的边角关系可得，米，米，从而可得米，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，再在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据二次函数的性质可知：函数为常数的图象具有对称性，
对称轴为：，
故此结论正确；
函数开口向上，对称轴为直线，顶点为
当，即时，函数有最小值；
当，即时，函数有最小值，
故此结论不正确；
时，画出的图象，

根据函数的图象可知：顶点的坐标为，与轴的交点为，，
当时，无法确定、；的大小，
故此结论不正确；
若直线与函数有四个交点，则其中两个和另外两个关于对称轴对称，
则这四个根之和一定为．
故此结论正确．
综上所述：结论正确的是．
故答案为：．
根据函数的对称性和函数的对称轴可对结论进行判断；根据抛物线与轴的交点情况即可对结论进行判断；当时，画出函数的图象，结合图象可对结论进行判断；再根据函数的对称性可对结论进行判断．
此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴，顶点坐标和增减性，其中当时，画出函数的图象是解答此题的难点之一．
 

16.【答案】 

【解析】解：设交轴于点，
四边形是平行四边形，落在的延长线上，
，
，
由旋转得，，
，
，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，，
，
解得，
故答案为：．
设交轴于点，由平行四边形的性质得，则，由旋转得，，则，而，所以，则，由，，得，，，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集是；
故答案为：；
；
．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
．
解：，，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
∽，
． 

【解析】由，，得到，因此，得到，又，故，即可证明．
由平行四边形的性质得到，由，得到，由，得到∽，推出．
本题考查平行线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：被抽取的学生共有人，
等级人数为人，
补全图形如下：

故答案为：；

共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在等级，
这组数据的中位数落在等级；
．
故答案为：，；

名，
答：估计比赛成绩在等级的学生共有名．
由等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出等级人数即可补全图形；
根据中位数和平均数的定义求解即可；
总人数乘以样本中等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

20.【答案】证明：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
同理，
，即，
，，
、是的等垂弦．

解：如图，作，垂足为，作，垂足为，则四边形为矩形，
、是的等垂弦，
，，
，
，，
≌，
，
矩形为正方形，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，则．
 

【解析】连接，证明可得，再利用圆周角定理得即可；
作，垂足为，作，垂足为，则四边形为矩形，证明≌可得四边形为正方形，由可得，再根据勾股定理求出即可．
本题属于新定义题型，运用了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、勾股定理等相关知识，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：点、为所作，

点、、为所作，
． 

【解析】取格点使，作出的中点，利用等腰三角形的性质得到平分，延长交于；取点关于的对称点，连接交于，利用对称得到，利用对顶角相等得到，所以；
利用平行线分线段成比例定理，线段与平行格线的交点为、，延长到，使，连接，取的中位线即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

22.【答案】解：矩形的一边长为，
矩形的另一边为，
，
解得：，舍去
答：的值为．
侧，
，
有最大值，
当时，，
答：纸盒的侧面积最大为平方厘米．
设，则，则侧面积为，
底面积为，
由题意得：：：，
，
则，，
由，
，舍去
答：的值为． 

【解析】根据矩形的面积和一边的长，可求出另一边的长，再根据底面积列方程求解即可，根据侧面积的计算方法得出一个二次函数的关系式，依据二次函数的最大值的求法求出即可，
设出的长，表示出侧面积、底面积根据二者的比为：，列出比例得出结果．
考查长方体的底面积、侧面积的计算方法以及一元二次方程的应用等知识，把侧面积、底面积用含有未知数的代数式表示出来是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，过点作于点，作于，

四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：：：且，理由如下：
如图，过点作于点，作于，

四边形是矩形，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
∽，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
：：；
解：若是等腰三角形，则分以下三种情况：
当时，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
设与交于点，

，，，
，，
，
，
，
；
当时，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
同可得，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，过点作于点，

，
，
，
是的中位线，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
设，则，
，
，
解得，
，
综上，的值为或或． 

【解析】过点作于点，作于，根据证≌即可推出结论；
过点作于点，作于，证∽，根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段与之间的关系即可；
分三种情况利用勾股定理三角形相似等知识分别求出和的长度即可求出比值．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，
，
，
该抛物线的函数表达式为：；
如图，作交的延长线于，

设，
，，
直线的解析式为：，
由得，
，
，
，
∽，
，
当时，，
当时，，
，
设，
如图，当时，过点作轴平行线，作于，作于，则∽，

，
，
，
如图，当时，过于，作于，可得∽，

，
，
可得，，
如图，当时，作于，作于，

同理可得：，
，
综上所述：点的横坐标为：或或或；
如图，作轴，作于，作于，作于点，则≌，≌．

，，，
，，
，
，
，
，
，
，舍去，
． 

【解析】将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；
作交的延长线于，根据∽，求得的函数解析式，从而求得点坐标，进而分为点和点和点分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；
作轴，作于，作于，作于点，则≌，≌根据≌可表示出点坐标，从而表示出点坐标，进而表示出坐标，根据，构建方程求得的值．
本题考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”模型及需要较强计算能力．