2022-2023学年河南省信阳市息县八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年河南省信阳市息县八年级（下）期中数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中一定是最简二次根式的是( )
A. 7B. 9C. 18D. 12
2. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2⋅ 3= 6C. 8=4D. (−3)2=−3
3. 一直角三角形的两边分别是2和3，则第三边是( )
A. 2或3B. 13C. 5D. 13或 5
4. 如图，在▱ABCD中，一定正确的是( )
A. AD=CD
B. AC=BD
C. AB=CD
D. CD=BC
5. 如图，在△ABC中，BC=4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE=( )
A. 14
B. 12
C. 1
D. 2
6. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
7. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A. 四条边相等B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 是中心对称图形
8. 如图在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，则CD的长度为( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
9. 如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为( )
A. 45°B. 60°C. 67.5°D. 77.5°
10. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A. x2−6=(10−x)2B. x2−62=(10−x)2
C. x2+6=(10−x)2D. x2+62=(10−x)2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若 x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
12. 计算： 12× 3= ______ ．
13. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______ (写出一个即可)．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0)，点B的坐标是(0,1)，且BC=5，则点A的坐标是______ ．
15. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题9.0分)
化简：
(1) 9×49；(2) 16×7；(3) 1225；(4) 27；
(5) 18；(6) 313；(7) 950；(8)1 2．
17. (本小题10.0分)
计算下列各题：
(1) 32− 23；
(2)( 24− 16)÷ 3．
18. (本小题9.0分)
如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=DB=3m，CD=1m，求滑道AC的长．
19. (本小题8.0分)
如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中作∠ABC的角平分线；
(2)在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
20. (本小题9.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，说出你的理由．
21. (本小题10.0分)
观察下列各式：
223=2 23； 338=3 38； 4415=4 415
(1)通过计算判断以上三个式子是否成立？(填“成立”或“不成立”)
(2)类比上述式子，请再写出一个这样的式子．
(3)这些式子蕴藏着某种规律，请用字母表示这个具有一般性的规律．
(4)请你证明这个规律的正确性．
22. (本小题10.0分)
(1)如图1，平行四边形纸片ABCD中，AD=5，S甲行四边形纸片ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为_____

A.平行四边形B.菱形C.矩形 D.正方形
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.求证：四边形AFF′D是菱形．
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 7是最简二次根式，符合题意；
B、 9=3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 18= 24，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、 2⋅ 3= 2×3= 6，故本选项正确；
C、 8=2 2，故本选项错误；
D、 (−3)2=3，故本选项错误．
故选：B．
根据二次根式的运算法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的运算法则，熟练掌握是解答此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：第三边为x，
当3为斜边时，
即32=22+x2，解得：x= 5，
当x为斜边时，
即x2=32+22，
解得：x= 13，
即x为 13或 5，
故选：D．
设第三边为x，分类讨论当3为斜边时和x为斜边时，利用勾股定理列出等式即可解题．
本题考查了勾股定理的实际应用，中等难度，分类讨论是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
故选：C．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC=4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×4=2，
故选：D．
由题意可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE的长度．
本题考查了三角形中位线，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.菱形的四条边相等，正确，不符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意；
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意；
故选：C．
根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的基本性质是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB2=100，BC2+AC2=64+36=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，
∴12AC⋅BC=12AB⋅DE+12AC⋅DC，
∴12×6×8=12×10⋅DE+12×6⋅DC，
∴DC=3cm，
故选：A．
根据勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，然后利用角平分线的性质可得DE=DC，再根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，可得12AC⋅BC=12AB⋅DE+12AC⋅DC，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及角平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAF=∠ABE=90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠ADF=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=22.5°，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°，
故选：C．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF的度数．
10.【答案】D
【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10−x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10−x)2．
故选：D．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
11.【答案】x≥8
【解析】解：∵ x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
根据二次根式有意义的条件，可得：x−8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】6
【解析】解： 12× 3
= 12×3
= 36
=6，
故答案为：6．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
本题考查二次根式的乘法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】AE=AF
【解析】解：这个条件可以是AE=AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
即AF//CE，
∵AF=EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE=AF．
根据矩形的性质得到AD//BC，即AF//CE，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
14.【答案】(2 6,0)
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵点B的坐标是(0,1)，
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，BC=5，
∴OC= BC2−OB2= 52−12=2 6，
∴点C的坐标(−2 6,0)，
∵点A与点C关于原点对称，
∴点A的坐标(2 6,0)．
故答案为：(2 6,0)．
根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案．
此题考查的是菱形的性质、坐标与图形的性质，掌握菱形的对称性质是解决此题关键．
15.【答案】 5
【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长= 12+22= 5．
故答案为： 5．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
16.【答案】解：1) 9×49=3×7=21；
(2) 16×7=4 7；
(3) 1225=2 35；
(4) 27=3 3；
(5) 18=3 2；
(6) 313= 3913；
(7) 950=3 210；
(8)1 2= 22．
【解析】根据算术平方根化简，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
17.【答案】解：(1)原式= 62− 63
= 66；
(2)原式=(2 6− 66)÷ 3
=11 66÷ 3
=11 26．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并二次根式即可；
(2)先化简，再合并，最后计算除法．
此题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练化简二次根式，能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：设AC的长为x米，
∵AC=AB，
∴AB=AC=x米，
∵EB=CD=1米，
∴AE=(x−1)米，
在Rt△ACE中，
AC2=CE2+AE2，
即：x2=32+(x−1)2，
解得：x=5，
∴滑道AC的长为5米．
【解析】设AC的长为x米，表示出AE=(x−1)米，利用在Rt△ACE中AC2=CE2+AE2，列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
19.【答案】解：(1)如图1中，射线BP即为所求；
(2)如图2中，直线l即为所求．

【解析】(1)连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
(2)利用是相结合的射线画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：图中有4个直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴△EAB，△BCF，△EDF都是直角三角形，
∵AB=4，AE=2，
∴BE2=20，
∵DF=1，DE=4−AE=2，
∴EF2=5，
∵CF=4−DF=3，BC=4，
∴BF2=25，
∴BF2=EF2+BE2，
∴△BEF也是直角三角形，
∴图中有4个直角三角形．
【解析】共有四个，由正方形的性质可知△EAB，△BCF，△EDF都是直角三角形，再根据勾股定理的逆定理可证明△BEF也是直角三角形，问题得解．
本题考查了正方形的性质以及勾股定理和其逆定理的运用，熟记正方形的性质是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵ 223= 83= 4×23=2 23，
338= 278= 9×38=3 38，
4415= 6415= 16×415=4 415，
故式子成立；
(2) 6635=6 635(答案不唯一)；
(3)规律： nnn2−1=n nn2−1(n≥2且n是正整数)；
(4) nnn2−1
= n(n2−1)+nn2−1
= n3n2−1
=n nn2−1．
【解析】(1)对式子进行运算，再判断即可；
(2)根据(1)中的式子的形式进行求解即可；
(3)分析所给的式子，再总结出规律即可；
(4)对(3)中的等式的左边进行运算即可证明．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：(1)C
(2)证明：∵AD=5，S▱ABCD=15，∴AE=3．
又∵在图2中，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF= AE2+EF2= 32+42=5，．
∴AF=AD=5，
又∵AF//DF′，AF=DF′，
∴四边形AFF′D是平行四边形，
又∵AF=AD，
∴四边形AFF′D是菱形．
【解析】
【分析】
本题考查图形的拼剪，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1)根据矩形的定义即可判断；
(2)首先证明四边形AFF′D是平行四边形，再证明AF=FF′即可．
【解答】
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=CE′，
∴BC=EE′，
∴AD=EE′，
∴四边形AEE′D是平行四边形，
∵∠AEE′=90°，
∴四边形AEE′D是矩形．
故答案为C；
(2)见答案．
23.【答案】(1)证明：在△BCD和△FCE中，
BC=FC∠BCD=∠FCECD=CE,
∴△BCD≌△FCE(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD//EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
(2)解：由题意补全图形如下：
CD=CH．
证明：延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC=CF，
∴AB=AF，
由(1)可知BD//EF，BD=EF，
∵AB2=AE2+BD2，
∴AF2=AE2+EF2，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE．
【解析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD//EF，则可得出结论；
(2)由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由(1)可知BD//EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．