上海市金山中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

 金山中学2020学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷

一．填空题（本大题共有小题，满分分）

不等式的解集为_______.

集合可用列举法表示为__________.

设，则.

方程的解为.

“”是“关于的方程无解”的_________条件.

满足的集合有__________个.

已知，则.（用的代数式表示）

已知，则的最小值为_________.

已知为方程的两个实数根，则的取值范围为______.

已知集合，且，则实属的所有取值组成的集合为___________.

设集合集合，若,则实数的取值范围是_________.

若对于两个实数集合集合的运算定义为：，

集合的运算的定义为：.已知实数集合

，试写出一个实数，使得但,则

二．选择题（本大题共有题，满分分）

设，则“”是“”的（    ）

充分非必要条件   必要非充分条件     充要条件    既非充分也非必要条件

若，且。则下列不等式中，恒成立的是（   ）

设常数，集合，若,则的取值为（   ）

已知为正实数，若，则对此不等式描述正确的是（     ）

若则至少存在一个以为边长的等边三角形

若则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形

若则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形

若则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形

三．解答题（本大题共有5题，满分76分）

.（本题满分分）

现有四个长方形容器，的底面积都是，高分别是；的底面积都是，高分别是,现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由。

.（本小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

已知集合，集合.

（1）求；

（2）若是的必要条件，求的取值范围.

.（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内容，某公路段汽车的车流量（千辆/）与汽车的平均速度（/）之间的函数关系为：.

（1）若要求在该时段内车流量超过10千辆/，则汽车的平均速度应在什么范围之内？

（2）在该时段内，当汽车的平均其速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/）

.（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

记代数式.

（1）当时，求使代数式有意义的实数的集合；

（2）对任意，代数式有意义，求实数的取值范围；

（3）若代数式有意义，求实数的取值范围.

.（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分8分）

已知实数满足；

（1）求证：；

（2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得

对任意的恒成立，请加以证明；

（3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明。

                        参考答案

一．填空题

必要非充分                                

二．选择题

三．解答题

先取容器必胜.

证明：依次记容器的容积为

则

作差即可

所以，先取容器必胜.

由得

所以

由得，所以

是的必要条件，

得

由题得解不等式得

所以汽车的平均速度应在到/

有题意当且仅当即时等号成立

当汽车的平均速度为时，车流量最大，为千辆/

;

对任意都成立.

，解得或，又，所以

由题意，存在，使得成立

又，

在时有解，

换元令，则

原式转化为证明

证明：得证；

（2）同可得，所以恒成立，

又当且仅当时取等号

所以，

（3）时，作差即可。