2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）第四次素养提升数学试卷（A卷）(含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）第四次素养提升数学试卷（A卷）(含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）第四次素养提升数学试卷（A卷）一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）1.  如图是年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为______ ．

 2.  在一个不透明的袋子中有个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是______．3.  我国古代数学名著四元玉鉴中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为______ ．4.  魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为        ．
 5.  由直线和直线是正整数与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是______ ．二、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）6.  本小题分
墨迹覆盖了等式“”中的一个代数式，求这个被墨迹覆盖的代数式．7.  本小题分
用代数推理的方法证明下列两个结论：
设是一个四位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．
已知函数求证：当时，随的增大而增大．8.  本小题分
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．
若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；
在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．9.  本小题分
如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
求的长；结果保留根号
如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取

 10.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，切于点，交射线的延长线于点点在直线上，．
用尺规作出点要求：不写作法，保留作图痕迹；
连接，直线与相交于点，，．
求的半径；
连接，平分吗？为什么？
11.  本小题分
如图，抛物线交轴于点，点在点左侧，交轴于点，且，点为抛物线上第四象限的动点．
求抛物线的解析式．
如图，直线交于点，连接，，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．
如图，直线交抛物线的对称轴于点，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，当点运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
12.  本小题分
如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．
求证：是等腰直角三角形；
如图，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
当点是的中点时，．
求的长；
若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
根据，求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则．
 2.【答案】 【解析】解：用列表法表示出所有可能出现的情况如下：

共有种等可能出现的情况，其中都是红球的有种，
．
故答案为：．
用列表法或树状图法表示出所有可能出现的情况，再根据概率公式进行计算即可．
本题考查用列表法、树状图法求随机事件发生的概率，在利用列表法或树状图法求随机事件发生的概率时一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 3.【答案】 【解析】解：买得梨和果共个，
；
梨文买个，果文买个，且买梨和果共花费文钱，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：．
利用总价单价数量，结合用文钱买得梨和果共个，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：都是正方形，
，
，
∽，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，
．
故答案为：．
证明∽，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
 5.【答案】 【解析】解：恒过，
也恒过，
为正整数，那么，，且
如图，
直线与轴的交点是，与轴的交点是
直线与轴的交点是，与轴的交点是，
那么，，
，
，
，

又，，且，
那么，在定义域上是增函数，
因此，当时，四边形的面积最小，
最小值．
首先用表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．
本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用表示出直线与坐标轴的交点坐标并用表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．
 6.【答案】解：设这个被墨迹覆盖的代数式为，
由题意得：


，
这个被墨迹覆盖的代数式为． 【解析】设这个被墨迹覆盖的代数式为，根据题意可得：，然后先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 7.【答案】证明：

，
若可以被整除，显然这个数可以被整除．
设，
，
当时，，
，
，
当时，随的增大而增大． 【解析】将这个四位数表示出来，根据题意即可得证．
设出，表示出，求出当时，，即可得证．
本题考查了数的整除，二次函数的性质及整式的混合运算，解题的关键是掌握二次函数的性质及整式的混合运算．
 8.【答案】证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，
则，，
所以点为“等值点”．
解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，
则，，
所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，
，
，
，
所以的取值范围是． 【解析】设，，用表示和即可证明；
设是图象上的“等值点”，通过等值点的定义得关于的方程有两个不相等的正实数根，结合判别式即可求出的取值范围．
本题属于新定义题，做这类题目时，认真读题，理清题意中的要求，将未知转化为已知进行求解．
 9.【答案】解：作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
米，米，
米，
即的长为米；
设水池的深为米，则米，
由题意可知：，米，
米，米，
，
，
解得，
即水池的深约为米． 【解析】根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值；
根据中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 10.【答案】解：如图，以为圆心为半径作弧，交直线于点，点即为所求，

如图，连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
∽，
：：，
设半径为，
则：：，解得；
不平分，理由如下：
连接，，，过点作交的延长线于点，

，，，，
，
，
，
∽，
：：：，

在中，，
在中，，
，，
，
设到距离为，到的距离为，
：：：，
，
若平分，则，
不平分． 【解析】以为圆心为半径作弧，交直线于点，点即为所求；
在中，勾股定理求得，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求得；
连接，，，过点作交的延长线于点，由中数据勾股定理求得，设到距离为，到的距离为，根据等面积法求得的值，根据角平分线的性质即可证明不平分．
本题考查了等边对等角，相似三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，切线长定理，角平分线的定义，圆心角与弧之间的关系，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，综合运用以上知识是解题的关键．
 11.【答案】解：由二次函数，
令，则，
．
又，
，，代入得：

即，
解得：
；

由题意得：．
，为定值，
当达到最大值时，的值最小．
即点为抛物线的顶点时，达到最大值．
又，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
直线的表达式为：；

不变，理由：
，，且．
设：，：，：，
则，．
将直线，与抛物线联立，得，
又，
，
同理，
即，
，
则． 【解析】由待定系数法即可求解；
由题意得：而，为定值，故点为抛物线的顶点时，达到最大值，符合题设要求，进而求解；
求出，，得到，同理，进而求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，图形面积的计算，解本题的关键是确定确定出直线解析式．
 12.【答案】证明：如图，点在的外接圆上，
，
，
．
，
，
是等腰直角三角形；
解：结论：，
理由：如图，延长交于点，

，，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
≌，
，，
，
，
，
；
解：由知．
，
．
是的中点，
，
，
，
存在或，
当时，如图，，

，
度，
是圆的直径，
，
；
当时，如图，连结；

是圆的直径，
，
∽，
，
，
综上所述，的长是或． 【解析】如图，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得得到，于是得到结论；
如图，延长交于点根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论；
由知求得根据是的中点，于是得到，
推出，当时，如图，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到当时，如图，连结由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．