高考数学一轮复习考点突破讲与练 第1章 第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 (含解析)

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
突破点一　命题及其关系


1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系
(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x2＋2x－81”的逆否命题
[解析]　(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．选A.
[答案]　(1)D　(2)A
[方法技巧]
四种命题的关系及真假判断
(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．
(2)命题真假的判断方法
①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．
②间接判断法：转化成等价命题，再判断．　　

1.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C　否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
2.原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝ －1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.
3.定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，
则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；
当00，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，
反之无法得到x>0，y>0.
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分

4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．
解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．
答案：充分不必要　充要


考法一　充分条件与必要条件的判断　
[例1]　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)a，b，c，d是非零实数，若a0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．
(2)由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，
即“＜”⇒“x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，
即“x3＜1” “＜”．
所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
[答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]　　　充分、必要条件的判断方法
利用定义判断
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么
从集合的角度判断
利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
利用等价转化法
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
考法二　根据充分、必要条件求参数范围　
[例2]　(2019·大庆质检)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　　　 B．(－∞，9]
C．[1,9] D．[9，＋∞)
[解析]　由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　　

1.已知m，n为两个非零向量，则“m·n1”是“3a>2a”的充分不必要条件，故选A.
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C　对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．(2019·咸阳模拟)已知p∶m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.
所以p是q的充分不必要条件．故选A.
7．(2019·重庆调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)， ∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.
8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是(　　)
A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题
B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b