高考数学一轮复习考点突破讲与练 第4章 第7节　第1课时　系统知识 正弦定理、余弦定理及应用举例 (含解析)

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第七节　正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．  第1课时　系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例正弦定理、余弦定理正、余弦定理的内容及变形定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C　变形形式a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sin A＝；sin B＝；sin C＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；＝2Rcos A＝；cos B＝；cos C＝[提醒]　若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理，在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．[谨记常用结论]1．在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则(1)sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．(2)sin ＝cos ，cos ＝sin .(3)sin A＝sin B⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.(4)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.2．三角形的面积S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.1.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．答案：22.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，    ①由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6，     ③由①②③得，b＝4.答案：43.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为________．解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.答案：4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是________．解析：由题可知，△ABC有两解的充要条件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范围是(2,2)．答案：(2,2)5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________.解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝.答案：6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝________.解析：∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.答案：解三角形应用举例测量中的有关几个术语的意义及图形表示名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角方位角从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：[提醒]　(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.答案：502.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案：103．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.答案：54．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，∵x>0，∴x＝－1.答案：－15.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．答案：10(3－)[课时跟踪检测]                                                              1．(2019·邵阳联考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝，A＝，则B＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.或  D.解析：选A　由正弦定理得＝，∴sin B＝，∴B＝或B＝，又b<a，∴B<A，∴B＝.故选A.2．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，则此三角形的最大内角为(　　)A．60°  B．90°C．120°  D．135°解析：选C　∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，∴a∶b∶c＝1∶1∶，设a＝m，则b＝m，c＝m.∴cos C＝＝＝－，∴C＝120°.3．(2019·北京十五中模拟)在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝3，那么AB＝(　　)A.  B.C.  D．2解析：选C　由余弦定理得AB2＝22＋32－2×2×3×cos 60°＝7，∴AB＝，故选C.4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解  B．有两解C．无解  D．有解但解的个数不确定解析：选C　由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．5．(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积为(　　)A．3  B.C．9  D.解析：选B　由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S△ABC＝casin B＝×4×3×＝.故选B.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则c的值为(　　)A．4  B．2C．5  D．6解析：选A　∵c＝2a，b＝4，cos B＝，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即16＝c2＋c2－c2＝c2，解得c＝4.7．(2018·兰州一模)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.8．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)A．10 km  B．10 kmC．10 km  D．10 km 解析：选D　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10(km)．9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　不妨设AB＝2，利用黄金分割点的定义得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1.在△ABD中，cos 36°＝＝，故选B.10．(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若             asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin              B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝，故选A.11．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10 海里  B．10 海里C．20 海里  D．20 海里解析：选A　画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则＝(　　)A．2  B．3C.  D.解析：选A　由2bsin 2A＝asin B，得4bsin A·cos A＝asin B，由正弦定理得4sin B· sin A·cos A＝sin A·sin B，∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝＋，A＝75°，cos B＝，则b＝________.解析：在△ABC中，由cos B＝，可得sin B＝，由A＝75°，可得sin A＝，根据正弦定理＝，得＝，解得b＝2.答案：214．(2018·惠州二调)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝，则＝________.解析：由正弦定理知＝＝2，所以a＝2sin A，则＝＝＝＝4.答案：415.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．答案：16．(2019·河南实验中学模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.解析：由tan B＝－，得sin B＝，cos B＝－.由△ABC的面积S＝8，得S＝acsin B＝8，解得c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋16－2×5×4×＝65，则b＝.由正弦定理，得＝＝，则＝＝＝.答案：