高考数学一轮复习考点突破讲与练 第5章 第2节　平面向量基本定理及坐标表示 (含解析)

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第二节　平面向量基本定理及坐标表示
[考纲要求]
1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　　　
突破点一　平面向量基本定理


如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则等于________．


答案：b－a
2．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案：0
3．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e 1＋2 e 2，b＝－e 1＋e 2，则2a－b＝________.
答案：3 e 1＋3 e 2


1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)

A.－　　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
解析：选C　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
2．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
解析：因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，
又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
答案：

平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
突破点二　平面向量的坐标表示


1．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
2．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．若a＝(2,3)，b＝(－1,4)，则2a－b＝________.
答案：(5,2)
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
解析：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
答案：(－7，－4)
3．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
答案：－6
4．已知A(1,4)，B(－3,2)，向量＝(2,4)，D为AC的中点，则＝________.
解析：设C(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，
所以解得即C(－1,6)．
由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，
所以＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．
答案：(3,3)


考法一　平面向量的坐标运算　
[例1]　(1)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0)　　　　　　 B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
(2)因为在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝.故选C.
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．　　
考法二　平面向量共线的坐标表示　
[例2]　(2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
[解]　(1)a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，| d－c|＝，
∴解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
[方法技巧]
向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(2)当x2y2≠0时，a∥b⇔＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．
(3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．　　

1.如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝(　　)
A．(9,8) B．(－7，－4)
C．(7,4) D．(－9，－8)
解析：选B　a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.
2.已知向量a＝(1，－1)，则下列向量中与向量a平行且同向的是(　　)
A．b＝(2，－2) B．b＝(－2,2)
C．b＝(－1,2) D．b＝(2，－1)
解析：选A　(2，－2)＝2(1，－1)，b＝2a，故选A.
3.已知向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________.
解析：因为a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以＝2，解得m＝±2.
答案：±2
4.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中n∈R，且n≠0)，则＝________.
解析：由a＝(1,2)，b＝(－2,3)，得ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，由ma－nb与2a＋b共线，可得7(m＋2n)＝0，则＝－2.
答案：－2
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：选B　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2 e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4 e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.
2．(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m 2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
解析：选C　∵a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，∴b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a＋b＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3.故选C.
4．(2019·兰州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，
所以sin θ＝±，故锐角θ＝.
5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，
∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝ ＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋ b.故选B.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·福州期末)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则| c |＝(　　)
A. B．3
C. D.
解析：选B　∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴c＝2a－b＝(3,3)，∴| c|＝＝3，故选B.
2．(2019·长沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos 2α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　∵a∥b，a＝，b＝(cos α，1)，∴－tan α·cos α＝0，∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选C.

4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　以点A为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝.故选B.
5．(2019·邹城期中)在△ABC所在平面上有三点P，Q，R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：选B　由＋＋＝，得＋＝－＋，即＋＝＋＝，

∴＝2，则P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q，R的位置．
∴△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则S△PQR＝S△ABC－××bsin A＋×c×sin B＋×a×sin C＝S△ABC－×3S△ABC＝S△ABC，∴△PQR与△ABC的面积比为1∶3.故选B.
6．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m,3 m－4)，b＝(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C　平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m,3 m－4)，b＝(1,2)，则m×2－(3 m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
7．(2019·淮南一模)已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且＝x，＝y (x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.＋
解析：选D　如图．＝，＝，又∵＝＋，∴＝＋，又∵M，G，N三点共线，∴＋＝1.∵x>0，y>0，∴3x＋y＝(3x＋y)·＝1＋＋＋≥＋.当且仅当y＝x时取等号．故选D.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选A　因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
9.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析：选D　由点D是圆O外一点，可设＝λ (λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ (μ>1)，则＝－－· (λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________.
解析：a＋b＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
答案：(4,6)
11.如图，在△ABC中，已知－＝，点P在线段BN上，若＝λ＋，则实数λ的值为________．

解析：－＝可化为＝，即＝，因为＝λ＋，所以＝λ＋.由B，P，N三点共线可得λ＝.
答案：
12．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
13.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．
解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，因为＋2＋3＝0，所以2＋4＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.
答案：3∶2
14.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．
解：不妨设圆O的半径为1，
则A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C，

所以＝，
＝.
又＝x＋y，
所以
＝x(－1,0)＋y.
所以
解之得
所以x＋y＝－＝－.
15．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋n c的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8 n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．