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    高考数学一轮复习考点突破讲与练 第6章 第3节 等比数列及其前n项和 (含解析)

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    高考数学一轮复习考点突破讲与练 第6章 第3节 等比数列及其前n项和 (含解析)

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    这是一份高考数学一轮复习考点突破讲与练 第6章 第3节 等比数列及其前n项和 (含解析),共12页。
    第三节 等比数列及其前n项和


                                 1.理解等比数列的概念.
    2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
    3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列有关知识解决相应的问题.
    4.了解等比数列与指数函数的关系.

    突破点一 等比数列的基本运算


    1.等比数列的有关概念
    (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.
    (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.
    2.等比数列的有关公式
    (1)通项公式:an=a1qn-1.
    (2)前n项和公式:Sn=

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(  )
    (2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(  )
    (3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(  )
    (4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(  )
    答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

    二、填空题
    1.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·a7=2,则=________.
    答案:
    2.各项都为正数的等比数列{an}中,a1=2,a6=a1a2a3,则公比q的值为________.
    答案:2
    3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.
    答案:4
    4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于________.
    答案:n-1


    1.(2019·山东测试)已知正项数列{an}为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项和S5=(  )
    A.         B.31
    C. D.以上都不正确
    解析:选B 设{an}的公比为q,则q>0且q≠1.由已知得a4+3a3=2×5a2,即a2q2+3a2q=10a2,q2+3q-10=0,解得q=2或q=-5(舍去),又a2=2,则a1=1,所以S5===31.
    2.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
    解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
    由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
    故an=(-2)n-1或an=2n-1.
    (2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
    由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
    若an=2n-1,则Sn==2n-1.
    由Sm=63,得2m=64,解得m=6.
    综上,m=6.

    解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
    (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
    (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.

    1.(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a4=27,an+1=-3an(n∈N*),则a1=(  )
    A.1 B.3
    C.-1 D.-3

    解析:选C 由题意知数列{an}是以-3为公比的等比数列,
    ∴a4=a1(-3)3=27,∴a1==-1.故选C.


    2.(2019·绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B 设数列{an}的公比为q,则显然q≠1,由题意得解得或(舍去),∴S5===.
    3.(2019·兰州诊断性测试)设数列{an+1}是一个各项均为正数的等比数列,已知a3=7,a7=127.
    (1)求a5的值;
    (2)求数列{an}的前n项和.
    解:(1)由题可知a3+1=8,a7+1=128,则有(a5+1)2=(a3+1)(a7+1)=8×128=1 024,可得a5+1=32,即a5=31.
    (2)设数列{an+1}的公比为q,由(1)知得
    所以数列{an+1}是一个以2为首项,2为公比的等比数列,
    所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1,
    利用分组求和可得,数列{an}的前n项和Sn=-n=2n+1-2-n.
    突破点二 等比数列的性质


    (1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*.特别地,若2s=p+r,则apar=a,其中p,s,r∈N*.对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
    (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N*).
    (3)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{ban},{pan·qbn}和(其中b,p,q是非零常数)也是等比数列.
    (4)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列,其公比为qk.
    (5)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.

    1.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5=________.
    答案:4
    2.(2019·长春调研)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=________.
    答案:14
    3.已知等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7等于________.
    答案:4
    4.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于________.
    答案:


    1.(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则的值为(  )
    A.-       B.-
    C. D.-或
    解析:选B 设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a30,∴a8=2,a9=2,∴a8a9=4.故选B.
    4.(2019·成都模拟)设{an}是公比为负数的等比数列,a1=2,a3-4=a2,则a3=(  )
    A.2 B.-2
    C.8 D.-8
    解析:选A 法一:设等比数列{an}的公比为q,因为a1=2,a3-a2=a1(q2-q)=4,所以q2-q=2,解得q=2(舍去)或q=-1,所以a3=a1q2=2,故选A.
    法二:若a3=2,则a2=2-4=-2,此时q=-1,符合题意,故选A.

    5.(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为(  )
    A.3 B.5
    C.9 D.25
    解析:选D 设等比数列{an}的公比为q,则a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,
    所以==q2=25.故选D.
    [B级 保分题——准做快做达标]
    1.(2019·长沙一模)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(  )
    A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
    C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
    解析:选D 由等比数列前n项和公式Sn=,代入数据可得Sn=3-2an.
    2.(2019·山东五校联考)已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且S2=2,S4=8,则S8=(  )
    A.16 B.128
    C.54 D.80
    解析:选D 由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比数列,
    ∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=2,S4=8,∴36=2(S6-8),即S6=26.
    又(S4-S2)(S8-S6)=(S6-S4)2,∴S8=54+S6=80.故选D.
    3.(2019·湖北华师一附中联考)在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=(  )
    A.1 B.±1
    C.2 D.±2
    解析:选A 因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4=a=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1==1,故选A.
    4.(2018·南宁测试)等差数列{an}的公差是2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )
    A.n(n+1) B.n(n-1)
    C. D.
    解析:选A 由已知得,a=a2·a8,因为{an}是公差为2的等差数列,故(a2+2d)2=a2·(a2+6d),(a2+4)2=a2·(a2+12),解得a2=4,所以an=a2+(n-2)d=2n,故Sn==n(n+1).
    5.(2019·吉林部分学校高三仿真考试)《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”,则该匹马第一天走的里数为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B 由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{an},且公比q=,S7=700,由等比数列的求和公式得Sn==700,解得a1=,故选B.
    6.(2019·衡水中学调研)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且192,T6=(-24)6×15=86×9==×0,解得q=,∴a1==.
    答案:
    12.(2019·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{an}满足a2a4=a5,a4=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.
    解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a2a4=a5,a4=8,
    ∴解得∴Sn==2n-1.
    答案:2n-1
    13.(2019·仙桃测试)各项均为正数的等比数列{an}中,若a1≥1,a2≤2,a3≥3,则a4的取值范围是________.
    解析:设{an}的公比为q,则根据题意得q==,∴≤q≤2,a4=a3q≥,a4=a2q2≤8,∴a4∈.
    答案:
    14.(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,设{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n2(Tn+1)=2nSn,n∈N*,则d=________,q=________.
    解析:由题意得,=⇒=,∴q=2,=1,a1=,=1,此时d=2,q=2.
    答案:2 2
    15.在数列{an}中,a+2an+1=anan+2+an+an+2,且a1=2,a2=5.
    (1)证明:数列{an+1}是等比数列;
    (2)求数列{an}的前n项和Sn.
    解:(1)证明:∵a+2an+1=anan+2+an+an+2,
    ∴(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),
    即=.
    ∵a1=2,a2=5,∴a1+1=3,a2+1=6,∴=2,
    ∴数列{an+1}是以3为首项,2为公比的等比数列.
    (2)由(1)知,an+1=3·2n-1,
    ∴an=3·2n-1-1,∴Sn=-n=3·2n-n-3.
    16.设数列{an}的各项均为正数,且a2=4a1,an+1=a+2an(n∈N*).
    (1)证明:数列{log3(1+an)}为等比数列;
    (2)设数列{log3(an+1)}的前n项和为Tn,求使Tn>520成立时n的最小值.
    解:(1)证明:由已知,得a2=a+2a1=4a1,
    则a1(a1-2)=0,
    因为数列{an}的各项均为正数,所以a1=2.
    因为an+1+1=(an+1)2>0,
    所以log3(an+1+1)=2log3(an+1).
    又log3(a1+1)=log33=1,
    所以数列{log3(1+an)}是首项为1,公比为2的等比数列.
    (2)由(1)可知,log3(1+an)=2n-1,
    所以Tn=1+2+22+…+2n-1=2n-1.
    由Tn>520,得2n>521(n∈N*),得n≥10.
    则使Tn>520成立时n的最小值为10.

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