(新高考)高考数学一轮复习过关练考点02 全称量词与存在量词、充要条件（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点02 全称量词与存在量词、充要条件（含解析），共17页。试卷主要包含了了解命题的逆命题，理解充分条件，了解或等内容，欢迎下载使用。

考点02 全称量词与存在量词、充要条件
考纲要求




1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
2、理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。
3、了解或、且、非的含义·了解全称量词与存在量词的意义，能准确地对一个量词的命题进行否定·

近三年高考情况分析





从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。


考点总结




本节内容是高考的要求掌握的内容，本节内容在江苏高考中很少直接考查，往往是以本节内容的知识点为依托考查函数、立体几何、解析几何等有关内容。以两种形式考查，一是简单的填空题形式出现，如四种命题、含有量词的否定，集合的充分条件、必要条件、充要条件的判断。而是中档题或者解答题中的考查，主要以存在量词和全称量词在函数中的考查，主要是研究函数的值域的关系，恒成立问题，存在问题等形式出现。
在高考复习中要特别注意以下几点：
①、判断命题时要分清命题的条件与结论，进而根据命题的关系写出其它命题。
②、判断命题之间P是q的什么条件，要从两个方面入手：一是P能否推出q，另一方面是q能否推出p。若不能推出可以举出一个反例即可，否则就要进行简单的证明。对于证明命题的充要条件要从充分性和必要性两个方面加以证明。
③、对于含义存在于任意的问题，要充分理解题意，分清是函数中的值域问题还是恒成立问题或者是最值问题或者构造函数问题
五年高考真题





1、【2020年高考北京】.已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
2、【2020年高考天津】.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
3、【2019·全国卷Ⅱ】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
4、【2019年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
5、【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6、【2019年高考天津理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
7、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
8、【2019年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，
故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.
故选C.
9、【2018年高考浙江】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.
由不能得出与内任一直线平行，
所以是的充分不必要条件.
故选A.
10、【2018年高考天津理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，
由 .
据此可知是的充分而不必要条件.
故选A.
11、【2018年高考北京理数】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，
因为a，b均为单位向量，所以，
即“”是“a⊥b”的充分必要条件.
故选C.
12、【2019年江苏试卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足: ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x

e
(e，+∞)

+
0
–
f（x）

极大值


因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
13、【2018年江苏试卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
详解：解：（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而 当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．

二年模拟试题




题型一 全称量词与存在问题
例1、【2020届江苏四校期中联考】“，”的否定是____________．
【答案】，使得
【解析】“，”的否定是：“，使得”．
变式1、【2020届江苏六校联盟第三次联考】若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题“存在”的否定是“对任意”．命题的否定是真命题，则．
变式2、【2020届江苏泰州中学、宜兴中学、江都中学12月联考】若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】“，使得成立”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题．因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即．故答案为：．
变式3、【2018常州期末】 命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”)．
【答案】 真　
【解析】取x＝1，则x2－1＝0，所以为真命题．

变式4、【2018泰州期末】 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (2，＋∞)　
【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．
易错警示 转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立．
变式5、【2020届江苏盐城中学高三月考】若命题“t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】命题“”是真命题，． 则实数的取值范围是故答案为．
变式6、【2020江苏扬州高邮开学考试】已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数．
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围．
【解析】(1)由为真命题知，解得，所以的范围是，
由为真命题知，，，取交集得到．
综上，的范围是．
(2)由(1)可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：
则的取值范围是即，而，可得，，解得：，
所以，的取值范围是．
变式7、【2020沭阳修远中学月考】设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对任意恒成立．
(Ⅰ)如果p是真命题，求实数的取值范围；
(Ⅱ)如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)实数的取值范围是 ．(Ⅱ)实数的取值范围是．
【解析】(1)命题是真命题，则有，，的取值范围为．
(2)命题是真命题，不等式对一切均成立，设，令，则，，当时，，所以．
命题“”为真命题，“”为假命题，则，一真一假．
①真假，，且，则得不存在；②若假真，则得．
综上，实数的取值范围．
方法总结：利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．
题型二：充分必要条件
例1、【成都石室中学高2020届三诊模拟考试】“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，则
所以或，
“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件。
变式1、【 2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟】）已知是非零实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
因为,所以或 ,所以是“”的既不充分也不必要条件,选D
变式2、【 2020届浙江省温州市高三4月二模】）设，则"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要.
故选：.
变式3、【 2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末 】已知且，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由
当时，得，推出，
当时，得，推出，
则是的充分条件，
但当时不一定能推出（比如：，，这时无意义）
则是的不必要条件，
故选：A.
变式4、【2020届江苏盐城中学高三月考】设向量，，则“”是“”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) ．
【答案】必要不充分
【解析】，所以“”是“”成立的必要不充分条件．
变式5、【2020届江苏昆山调研】已知平面，和直线，且，则“”是“”的______条件．(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．)
【答案】充分不必要
【解析】由题得，所以“”是“”的充分条件；当时，不一定有，有可能不与平面b垂直，也有可能在平面b内．
所以“”是“”的非必要条件．所以“”是“”的充分非必要条件．故答案为：充分不必要．
变式6、【2020届江苏常熟上学期期中】“”是“”的 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)
【答案】充分不必要
【解析】因为时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件．
变式7、【2020届江苏盐城中学高三月考】设，则“”是“直线与直线垂直”的______条件．
【答案】充分不必要条件
【解析】若直线与直线垂直，则，解得：；所以由“”能推出“直线与直线垂直”，由“直线与直线垂直”不能推出“”；即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．
变式8、【2020江苏如东中学月考】设实数满足(其中)，实数满足．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】设，，是的必要不充分条件，则，则，所以实数的取值范围是．

变式9、【2020江苏镇江八校调研】已知集合，
(1)求集合；
(2)若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，∴，则，
∴，∴．
(2)∵，∴由可得：或，∴或，
∴或．
∵：，：，且是的充分不必要条件，∴或，∴或，
∴实数的取值范围是．
方法总结：充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件


题型三 存在与任意问题
例3、【 2019泰州期末 】 已知函数f(x)＝若存在x0<0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [－1，0)　
本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路：
思路1.对两段函数分别研究图像和性质，由于研究的是x<0的情形，故分a≥0和a<0两种情况讨论，当a≥0时，结论易得；当a<0时，由于x 思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题f(x)＝x3－3|x－a|－a，从而问题转化为y＝x3和y＝3|x－a|＋a的图像在y轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论．
解法1(分类讨论法) 当a≥0时，只考虑x0，f(x)在(－∞，a)上单调递增，而f(0)＝－4a≤0，显然不存在x0＜0，使得f(x0)＝0，所以a≥0不成立．
当a<0时，当x ①当a3－a＝a(a2－1)>0，即－1 ②当a＝－1时，f(－1)＝0，结论成立；
③当a<－1时，f(x)在 [a，－1)上单调递增，在(－1，0)上递减，而f(－1)＝2a＋2<0，结论不成立．
综上实数a的取值范围是[－1，0)．
解法2(图像法) 函数f(x)＝x3－3|x－a|－a，由题意可得y＝x3与y＝3|x－a|＋a在y轴左侧有交点．
y＝3|x－a|＋a的顶点为(a，a)，在直线y＝x上，由解得x＝－1.
又y＝x3在x＝－1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a∈[－1，0)
变式、【 2019苏州期末 】设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围
【答案】　
考察函数f(x)在区间(－∞，0)和上的最小值或下确界．特别注意到，当a≠0时，当x＝时，－ax2＝0.
①当a＝0时，f(x)＝在(－∞，0)上的值域为(0，＋∞)，在，满足要求；
②当a<0时，f(x1)min＝f＝0，而f(x2)>0恒成立，所以不可能有f(x2)≤f(x1)；
③当0 ④当a>时，设g(x)＝－ax2，则g′(x)＝－－2ax＝－.
易得g(x)在上递增，在]上递减，在(2,)单调递减
所以
所以
综上：
方法总结：恒成立与存在性问题主要涉及到函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。