(新高考)高考数学一轮复习过关练考点04 指数、对数、幂函数（含解析）

考点04   指数、对数、幂函数

1、了解幂函数的概念，掌握常见的幂函数的图像；

2、理解指数函数的概念，以及指数函数的图像与性质。会用指数函数模型解决简单的实际问题；

3、理解对数函数的概念及其性质，了解对数函数的换底公式，理解对数函数的性质，会画对数函数的图像；

指数函数、对数函数作为一类特殊的函数，在江苏高考中往往作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查与指数、对数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式等知识点的综合，难度往往较大。幂函数在江苏高考中的要求较低，近几年江苏高考中还没有涉及，在平时的复习中可以适当的关注

在高考复习中要注意以下几点：

①要善于用指数函数的图像和性质，研究指数函数的单调性，对于这类问题考查的热点是对含参的讨论。在有关根式的变形或者求值的过程中，要善于用转化的思想和方程观点处理问题；

②研究对数问题尽量华为同底，另外对数问题中要注意定义域的限制，充分对对数函数的概念、图像、性质讨论一些与之有关的复合函数的限制；

③对于与指数函数、对数函数有关的综合体现要善于运用数形结合的思想以及等价转化的思想，注意与其他知识点的结合。

1、（2020年北京卷）已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

2、（2020年全国1卷）若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

3、（2020年全国2卷）9.设函数，则f(x)（    ）

A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

4、（2020年全国2卷）若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

5、（2020年全国3卷）4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

6、（2020年全国3卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b

【答案】A

【解析】

由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

7、（2020年天津卷）.设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选：D.

8、（2020年山东卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【答案】B

【解析】因，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

9、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知，则

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

即

则．

故选B．

【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．

10、（2019年高考天津理数）已知，，，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

，

，即，

所以.

故选A.

11、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知，则

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

即

则．

故选B．

【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．

12、（2019年高考天津理数）已知，，，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

，

，即，

所以.

故选A.

13、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知，则

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

即

则．

故选B．

14、（2019年高考天津理数）已知，，，则的大小关系为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

，

，即，

所以.

故选A.

15、（2020年江苏卷）7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【解析】，因为为奇函数，所以

故答案为：

题型一、指对数比较大小

例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题,因为单调递减,则；

因为单调递减,则；

因为单调递增,则,

所以,

故选：A

2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，，，

则，，的大小关系：．

故选：B.

3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数，，的大小顺序是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，，，故.

故选A.

4、（2020届山东省济宁市高三上期末）若,则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

；；，即

故选：

5、（2019年北京高三月考）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由指数函数的性质可知：，，

由对数函数的性质可知，

据此可得：.

本题选择D选项.

6、（2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调）已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.

7、（2020届河北省衡水中学高三年级小二调）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

又因为，，

所以.

又因为，

因，故，

所以即.

又，

因，故，

所以.即

所以

故.

故选：B.

方法总结：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

题型二：指数、对数函数的运用

例1、（2020届河北省衡水中学高三上学期七调）设为奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意.

故选：A.

2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

∵函数，

∴，

.

故选：C.

3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数的图象如图所示，则的解析式最有可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

选项B、D的函数定义域为，和图象不匹配，错误；

选项C函数为减函数，和图象不匹配，错误；

选项A函数的定义域为R，且为增函数，正确.

故选：A

4、（北京海淀区一零一中学2019-2020学年度上学期高三开学考）已知函数，则直线y=x+1与曲线的交点个数为_____；若关于x的方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是_____.

【答案】一个       

【解析】（1）函数图象如图所示：（注意：x=0取不到）

又因为在处的切线为，即为，

所以交点个数为个；

（2）关于x的方程有三个不等实根⇔的图象与的图象有三个交点. 如图所示：

当与相切时，设切点为，

所以，所以，所以，所以，此时共两个交点，

将图象下移时只有有一个交点；

将图象上移时，有三个交点；

直到当时，的图象与的图象刚好两个交点，

当图象上移时只有2个交点，

故当时，的图象与的图象有三个交点.

故答案为：一个；.

5（2020届河北省衡水中学高三下学期一调）已知，设函数的零点为m，的零点为n，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的零点为函数与图像的交点A的横坐标，函数的零点为函数与图像的交点B的横坐标

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图像关于对称，

直线与垂直

故两直线的交点即是A，B的中点，

当且仅当：时等号成立

而，故

故选：A

6、（2020届河北省衡水中学高三年级小二调）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】由于为幂函数，则，解得：，

函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故答案选B

方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．