(新高考)高考数学一轮复习过关练考点06 函数模型及其应用（含解析）

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考点06 函数模型及其应用
考纲要求



1、 能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。
2、 感受导数在解决实际问题中的作用。

近三年高考情况分析



利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这是近几年江苏高考命题的趋势。

考点总结




在高考复习中要注意以下几点：
1、 导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值范围；第二步：构建函数，将实际问题转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步：将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。
2、 在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、三角函数等知识点模块的结合。
五年高考真题





1、【2020年山东卷】.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
【答案】B
【解析】因，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
2、【2020年北京卷】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.


给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
3、【2020年江苏卷】17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
【解析】（1）由题意得
米
（2）设总造价为万元，，设，

(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
4、【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为，
所以，
即，
解得，
所以
故选D.
6、【2018年江苏高考】 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
二年模拟试题




题型一、一元二次函数、指数函数等模型
1、（2020届北京市顺义区高三上学期期末）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.

给出下列四种说法:
①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】解:由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为,
,即为票价,
当时,,则为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
2、（2020届山东省济宁市高三上期末）年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
【答案】
【解析】
当时， 经过年后，碳的质量变为原来的
令，则
良渚古城存在的时期距今约在年到年之间
故答案为；
3、(2019南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.
(1) 求实数m的值；
(2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)
解析： (1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，解得m＝12.(5分)
(2)由已知函数求导，得f′(x)＝＋600＝(12－x)]．
令f′(x)＝0，得x＝12.(9分)
列表得

x
[4，12)
12
(12，22]
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值


所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时. (12分)
答：(1)实数m的值为12；(2)空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)
本题第(2)问，因为部分学生不能发现导函数中有公因式12－x，导致二次求导，但是没有交代清楚，导致失分. 当然本题可以分别求函数y＝12lnx－x 和函数y＝－6的最大值，并交代在x＝12处同时取得最大值即可．在评分细则中，第(2)问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.
4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）
（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
【答案】（1）；；（2）台，万元；（3）或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【解析】（1）由题意知：且，
，

.
（2）每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.
因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.
（3），
由，得，此时随增大而增大，
由得，此时随增大而减小，
或时，取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售， ，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.
（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；
（2）求乐观系数的值；
（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值.
【答案】（1）400,200；（2）；（3），.
【解析】
试题分析：（1）先求出总利润＝，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得，结合比例中项的概念可得，两边同时除以将等式化为的方程，解出方程即可；（3）利用平均成本平均利润，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得的值，利用可得的值.
试题解析：（1）依题意总利润＝，
＝，
,
此时,,
即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 .
（2）由得，是的比例中项，
，
两边除以得，
解得.
（3）厂家平均利润最大，元，
每件产品的毛利为，，
元，（元），元.
6、（2019年北京高三月考）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
∴；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
题型二 与平面或空间几何体有关的最值问题

1、(2019苏州三市、苏北四市二调）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.
(1) 求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
　,②)

(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．
(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．
(1)规范解答 由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)
在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，
所以FM＝.(4分)
因此△FBC的面积为×10×＝.
从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝.
所以S关于θ的函数关系式为S＝.(6分)
(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)
所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝k－k＋96k＝80k·＋96k.(10分)
记f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝，
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，又0<θ<，所以θ＝.(12分)
列表：

θ



f′(θ)
－
0
＋
f(θ)



　　所以当θ＝时，f(θ)有最小值．
答：当θ为时，该别墅总造价最低．(14分)
理解题意，建立出函数的关系式，是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件”梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍”，只要用θ表示出△FBC面积，即可得到屋顶面积．第(2)问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式．
2、(2019南京、盐城一模）有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N.
(1) 当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2) 当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
,甲)　　　,乙)

解答 (1)在图甲中，连结MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R，
在Rt△OET中，因为∠EOT＝∠EOF＝60°，所以OT＝，则MT＝OM－OT＝.
从而BE＝MT＝，即R＝2BE＝2.(2分)

故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝πR2－R2sin120°＝－.(4分)
又所得柱体的高EG＝4，所以V＝S×EG＝－4.
答：当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米．(6分)
(2)设BE＝x，则R＝2x，所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝πR2－R2sin120°＝x2.
又所得柱体的高EG＝6－2x，所以V＝S×EG＝(－x3＋3x2)，其中0 令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0，3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.(12分)
列表如下：

x
(0，2)
2
(2，3)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值


所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．
答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．(14分)
题型三 与三角函数有关的问题

1、(2019苏州期初调查）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且∠BOG＝60°，设∠BOC＝θ.
(1) 记市民活动广场及停车场的占地总面积为f(θ)，求f(θ)的表达式；
(2) 当cosθ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．


规范解答(1)因为半圆的半径为r，∠BOC＝θ，∠OBC＝90°.
所以在Rt△OBC中，OB＝rcosθ，BC＝rsinθ，所以AB＝2rcosθ.

所以S矩形ABCD＝AB·BC＝2r2sinθcosθ.(2分)
又因为∠BOG＝60°，由半圆的对称性可知，∠HOA＝60°，所以∠HOG＝60°.
所以△HOG为等边三角形，所以HG＝EF＝r，HE＝r－rsinθ＝r.
所以S矩形EFGH＝EF·EH＝r2.(4分)
所以f(θ)＝S矩形ABCD＋S矩形EFGH＝(2sinθcosθ－sinθ＋)r2，其中θ∈.(7分)
(2) 因为f′(θ)＝r2(2cos2θ－2sin2θ－cosθ)＝r2(4cos2θ－cosθ－2)．(9分)
令f′(θ)＝0，即4cos2θ－cosθ－2＝0，
解得cosθ＝或cosθ＝(舍去)．(11分)
令cosθ0＝，θ0∈.
1°　当θ∈(0，θ0)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；
2°　当θ∈时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减．
所以当θ＝θ0时，f(θ)取得最大值．(13分)
答：当cosθ＝时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大．(14分)
2、(2019盐城三模）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tan∠BAN＝，∠BCN＝.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.
(1) 求A，B两镇间的距离；
(2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？



解答 (1) 如图，过B作MN的垂线，垂足为D.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝＝，
所以AD＝BD.
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，
所以CD＝BD.
则AC＝AD－CD＝BD－BD＝BD＝1，
所以BD＝3，则CD＝3，AD＝4.(2分)
由勾股定理得，AB＝＝5(km)．
所以A，B两镇间的距离为5 km.(4分)

(2) 方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20(万元)．(6分)
方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈，其中θ0＝∠BAN.
在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，
所以AP＝4－DP＝4－.
则总铺设费用为2AP＋4BP＝8－＋＝8＋6·.(8分)
设f(θ)＝，则f′(θ)＝＝，令f′(θ)＝0，得θ＝，列表如下：
θ



f′(θ)
－
0
＋
f(θ)

极小值

所以f(θ)的最小值为f＝.
所以方案②的总铺设费用最低为8＋6(万元)，此时AP＝4－.(12分)
而8＋6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A镇的正西方向(4－) km处，总铺设费用最低．(14分)