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(新高考)高考数学一轮复习过关练考点07 导数的运算及几何意义(含解析)
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考点07 导数的运算及几何意义 ①了解导数的概念,体会导数的思想及其内涵;通过函数图像直观地理解导数的几何意义;②理解导数额概念,理解基本初等函数的导数公式;理解导数的四则运算法则,能利用导数公式和求导法则求简单的导数; 导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程,在最近几年高考中经常考查,不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。 在高考复习中要注意以下几点:1、解决在点处的切线问题要抓住两点:(1)切点即在曲线上也在曲线的切线上。(2)切线l的斜率2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则,在求导的过程中,要仔细分析函数解析式的结构特点,紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形,正确求导。3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线,挖掘切线的价值,在有些问题中,可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。 1、【2020年全国1卷】.函数的图像在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故选:B.2、【2020年全国3卷】.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+【答案】D【解析】】设直线在曲线上的切点为,则,函数的导数为,则直线的斜率,设直线的方程为,即,由于直线与圆相切,则,两边平方并整理得,解得,(舍),则直线的方程为,即.故选:D.3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则A. B.a=e,b=1C. D.,【答案】D【解析】∵∴切线的斜率,,将代入,得.故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a,b的等式,从而求解,属于常考题型.4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数是奇函数,所以,解得,所以,,所以,所以曲线在点处的切线方程为,化简可得.故选D.5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线平移到与曲线相切位置时,切点Q即为点P到直线的距离最小.由,得,,即切点,则切点Q到直线的距离为,故答案为:.6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____.【答案】.【解析】设点,则.又,当时,,点A在曲线上的切线为,即,代入点,得,即,考查函数,当时,,当时,,且,当时,单调递增,注意到,故存在唯一的实数根,此时,故点的坐标为.7、【2020年山东卷】已知函数.(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;【答案】(1)(2)【解析】(1),,.,∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;8、【2020年天津卷】.已知函数,为的导函数.(Ⅰ)当时,(i)求曲线在点处的切线方程;【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时,,.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即. 所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线的切线.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+∞).因为,所以在(0,1),(1,+∞)单调递增.因为f(e)=,,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又,,故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)因为,故点B(–lnx0,)在曲线y=ex上.由题设知,即,故直线AB的斜率.曲线y=ex在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线.10、【2020年北京卷】已知函数.(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)因为,所以,设切点为,则,即,所以切点为,由点斜式可得切线方程:,即.(Ⅱ)显然,因为在点处的切线方程为:,令,得,令,得,所以,不妨设时,结果一样,则,所以,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,所以时,取得极小值,也是最小值为.11、【2019年高考北京理数】已知函数.(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当时,求证:;(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.【答案】(Ⅰ)与;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)由得.令,即,得或.又,,所以曲线的斜率为1的切线方程是与,即与.(Ⅱ)令.由得.令得或.的情况如下: 所以的最小值为,最大值为.故,即.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,;当时,;当时,.综上,当最小时,. 题型一 导数的几何意义1、(2010届北京西城区第4中学期中)已知曲线在点处的切线方程为,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,将代入得,故选D.2、(北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题)直线经过点,且与直线平行,如果直线与曲线相切,那么等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】直线经过点,且与直线平行,则直线方程为: 直线与曲线相切,,切点为 代入直线方程解得: 故选:A3、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)曲线在处的切线方程为,则实数______.【答案】1;【解析】因为,所以,所以,,故曲线在处的切线过且斜率,故切线方程为所以故答案为:4、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)若曲线在处的切线斜率为-1,则___________.【答案】【解析】,.故答案为:-2.5、(2020届山东省滨州市高三上期末)曲线在点处的切线的方程为__________.【答案】【解析】 6、(2020届山东省九校高三上学期联考)直线与曲线相切,则__________.【答案】【解析】函数的导函数,设切点坐标,则,解得:.故答案为:.7、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知,设函数的图象在点(1,)处的切线为l,则l在y轴上的截距为________ .【答案】1【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为:,切点坐标(1,a),切线方程l为:y−a=(a−1)(x−1),l在y轴上的截距为:a+(a−1)(−1)=1.故答案为1.8、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)给出下列三个函数:①;②;③,则直线()不能作为函数_______的图象的切线(填写所有符合条件的函数的序号).【答案】①【解析】直线的斜率为k=,对于①,求导得:,对于任意x≠0,=无解,所以,直线不能作为切线;对于②,求导得:有解,可得满足题意;对于③,求导得:有解,可得满足题意;故答案为:①9、(2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;【解析】(Ⅰ)解:,当时,,,所以曲线在点处的切线方程为,即;10、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数处有极小值,求函数在区间上的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,,,所以,又,所以曲线在点处切线方程为,即.(2)因为,因为函数处有极小值,所以,所以由,得或,当或时,,当时,,所以在,上是增函数,在上是减函数,因为,,所以的最大值为.题型二 函数图像的切线的综合问题1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)当直线和曲线E:交于三点时,曲线E在点A,点C处的切线总是平行的,则过点可作曲线E的切线的条数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】直线过定点由题意可知:定点是曲线的对称中心,,解得,所以曲线,f′(x)= ,设切点M(x0,y0),则M纵坐标y0=,又f′(x0)=,∴切线的方程为:又直线过定点,得﹣-2=0,,即解得:故可做两条切线故选C2、(北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题)已知函数,,其中.若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合,则a的取值范围为()A. B.C. D.【答案】A【解析】∵,∴,,函数在点处的切线方程为:,函数在点处的切线方程为:,两直线重合的充要条件是①,②,由①及得,故,令,则,且,设, ,当时,恒成立,即单调递减,,时,,即a的取值范围为,故选A.3、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.【答案】【解析】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.故答案为:4、(2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟)已知P为指数函数图象上一点,Q为直线上一点,则线段PQ长度的最小值是_______【答案】【解析】设图象上斜率为1的切线的切点是,由,,,,即.到直线的距离是.故答案为:.5、(2019苏锡常镇调研)已知点P在曲线C:上,曲线C在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点P的纵坐标为 .【答案】.【解析】设,因为,所以切线l的斜率,且,则直线,即令,消得:,设,则,即,又因为点在曲线上,所以,故因为,所以,即,化简得,则,所以点的纵坐标为6、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若曲线与曲线存在唯一的公切线,求实数的值;【解析】(1),当时,恒成立,在上单调递减,当时,由,解得,由于时,导函数单调递增,故,单调递减,单调递增.综上,当时在上单调递减;当时, 在上单调递减,在上单调递增. .(2)曲线与曲线存在唯一公切线,设该公切线与分别切于点,显然.由于,所以, , 由于,故,且因此,此时,设问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点,又,令,解得,则在上单调递增,上单调递减,而,当时,所以的值域为.故.7、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知函数,曲线在点处的切线在y轴上的截距为.(1)求a;【解析】(1)对求导,得.因此.又因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.由题意,.显然,适合上式.令,求导得,因此为增函数:故是唯一解.
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