(新高考)高考数学一轮复习过关练考点10 基本不等式（含解析）

考点10  基本不等式

1、掌握基本不等式。

2、能用基本不等式证明简单不等式。

3、能用基本不等式求最值问题。

基本不等式是江苏数学考纲要求的c级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。

在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点：

①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。

②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 的形式。

③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。以及双换元等。在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。

1、【2020年山东卷】.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

2、【2020年江苏卷】已知，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

3、【2020年天津卷】.已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

4、【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】方法一：.

因为，

所以，

即，当且仅当时取等号成立.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.

方法二：

.

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

5、【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为             .

【答案】

【解析】由可知，且，

因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

6、【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．

【答案】9

【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

7、【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．

【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．

8、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．

【答案】30

【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．

题型一 运用基本不等式求函数最值

1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】C

【解析】∵，

∴，

∴，且，，

∴，

∴

，

当且仅当且即时，等号成立；

故选：C．

2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(    )

A．1 B． C．9 D．18

【答案】A

【解析】奇函数在R上单调，则

故即

当即时等号成立

故选：

3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图可知x，y均为正，设，

共线， ，

，

则，

，

则的最小值为，故选D.

4、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）设，则“”是“”的(   )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由得，，所以是充分条件；

由可得，所以是必要条件，

故“”是“”的充要条件．答案选C．

5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）设实数、满足，且.则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，.

当时，，

当且仅当且，即，时取等号，

当时，，

当且仅当且时取等号，

综上可得，的最小值.

故选：C.

6、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若正实数，满足，则取最小值时，（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

∵；

∴，且，；

∴；

∴，

当且仅当，即时取等号.

故选：B.

7、（2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七)数学试题）

已知，，且，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】，，由得，.

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故答案为：.

8、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月份月考试卷）已知，且.则的最大值是_________.

【答案】10

【解析】

当且仅当，即时，等号成立

则，即的最大值是

故答案为：

9、（2020届山东省临沂市高三上期末）当取得最小值时，______.

【答案】4

【解析】

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

10、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.

【答案】

【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.

故填：.

11、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又

即时等号成立，

故的最小值为9.

故答案为：9

12、（2020届江苏省七市第二次调研考试）若，则的最小值是______.

【答案】8

【解析】，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.

故答案为：

13、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知为正实数，则的最小值为______.

【答案】.

【解析】解：令，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

故答案为：.

14、(2019常州期末） 已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为________．

【答案】4

解法1(直接消元) 由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.

解法2(直接消元) 由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同解法1.

解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得＋＝＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.

解法4(“1”的代换) 因为x＋＝1，所以＋＝＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即时取“＝”．故＋的最小值为4.

15、(2019镇江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．

【答案】3

   本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．

解法1 因为x>0，y>0，所以x＋y＝＋≥，得x＋y≥3，当且仅当x＝1，y＝2时取等号．

解法2 x＋y＝＝＝≥＝3，当且仅当＝，即x＝1，y＝2时取等号．

16、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为________．

【答案】. 　

【解析】由a＋3b＝－，得－3b＝a＋.又a>0，所以－3b＝a＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)，即－3b≥2，又b>0，解得0<b≤，所以b的最大值为.

题型二   运用基本不等式处理多元问题

1、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．

【答案】8

【解析】，

2、（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知正实数，则的最小值为______；的最小值为______.

【答案】       

【解析】

（1）若时，即时，，当时可取等号，

若时，即时，，

若时，即时，由知，

所以，

综上可知A的最小值为；

当时，，当时可取等号；

当时，，当时可取等号；

综上所述，，时可取等号；

故答案为：，．

3、(2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．

【答案】 　

   注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abc＝a＋2b＋c进行分离得c＝＝＝1＋，从而将问题转化为求a＋2b的最小值；

 结合abc＝a＋2b＋c与ab＝a＋2b化简得abc＝ab＋c来进行分离得c＝＝1＋，进而求ab的最小值．

 由于所求解的c与a，b有关，而a，b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．

解法1 由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤.

解法2 因为abc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故c＝1＋≤1＋＝.

解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“·a·2b＝a＋2b，·a·2b·c＝a＋2b＋c”，故a与2b对等，不妨设a＝2b，解得a＝2b＝4，c＝，故c的最大值为.

4、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则的最小值为________．

【答案】. 4　

【解析】 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值．

依题意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即则

所以＝＝＝(－24a)＋≥2＝4，当且仅当144a2＝5，即a＝－时取等号，所以所求最小值为4.

题型三  运用基本不等式求函数含参的问题

1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）

A．10 B．12 C．16 D．9

【答案】D

【解析】

由已知，，若不等式恒成立，

所以恒成立，

转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．

2、(2019扬州期末） 已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．

【答案】. (－∞，9]　 m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.

解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.

解法2(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.

解法3(函数法)　令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.

3、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．

【答案】100　

本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．

解法1(函数的最值) 因为ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.因为△ABC为任意三角形，所以a>|b－c|，即<＝

当0<≤1时，＋18≤19；当>1时，－＋20≤100，即的最大值为100，所以k≥100，即实数k的最小值为100.

解法2(基本不等式) 因为ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.又＝.因为c<a＋b，所以<1＋，即<≤＝100(要求最大值，19－至少大于0)．当且仅当1＋＝19－，即＝9时取等号．