(新高考)高考数学一轮复习过关练考点15 平面向量的线性运算（含解析）

考点15  平面向量的线性运算

1、理解向量的加法、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理 . 了解向量的线性运算性质及其几何意义

2、了解平面向量的基本定理及其意义 .

3、 理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;

4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件

平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点，用一组基底可以表示其它的向量，这也是为下一节平面向量的数量积的基础，因此平面向量的线性运算是这几年江苏高考常考的知识点。在其它地区的高考中也经常考查到·

1、平面向量的基本概念及其线性运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,重点在于对三

点共线及基底向量等相关知识的运用 .

2、平面向量的基本定理及其坐标运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,借助基向量考

查交点位置或借助向量的坐标考查共线等问题

1、【2020年江苏卷】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】

【解析】∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

2、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则

A．       B． 

C．       D．

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以.

故选A.

3、【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为

A．3                           B．2

C．         D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设，

易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则 ，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．

4、【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．

【答案】0；.

【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

则,

令0.

又因为可取遍，

所以当时，有最小值.

因为和的取值不相关，或，

所以当和分别取得最大值时，y有最大值，

所以当时，有最大值.

故答案为0；.

5、【2018年高考全国III卷理数】已知向量，，．若，则___________．

【答案】

6、【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．

【答案】3

【解析】由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得，

所以．

题型一：平面向量基本定理

1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知，，，，若，（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设，，，

则，

所以，解得，，

所以，

故选：C．

2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选A.

3、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

，，

所以，所以.

因为，

所以.

故选：D

4、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六)数学（理)试题）如图，在平行四边形中，点满足，与交于点，设，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知，故选C.

5、（2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）在四边形中，，设.若，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，

过作，又．

∴四边形是平行四边形．

， 又．

，

又，则 ．

故选：B．

6、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，

由向量加法的三角形法则得

，A对；

∵，∴，

∴，

又F为AE的中点，∴，B对；

∴，C对；

∴，D错；

故选：ABC．

7、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为______.

【答案】；

【解析】由题意，，

∵

∴．

故答案为：．

8、(2019无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 ＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是________．

【答案】7.

【解析】梯形因为＝＋＋＝(a＋2b)＋－4a－b＋(－5a＋－3b)＝－8a－2b所以，＝2，即AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以，四边形ABCD是梯形．

9、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形中，若（），则的值为  ▲  ．

【答案】

【解析】：建系（坐标法）以AB所在的直线为x轴，以AE所在的直线为y轴，

设六边形边长为2，,，，,

由得：，

     故.

题型二：平面向量的坐标运算

1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，所以,选C.

2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量，且，则（    ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，∵，∴，解得．

故选：C.

3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量，，与平行，则实数x的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

解：由已知，又，

，解得：，

故选：D.

4、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“为直角三角形”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

若，两边平方得到

，，即

故为直角三角形，充分性；

若为直角三角形，当或为直角时，，不必要；

故选：

5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知向量，，，且，，则(     )

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为向量，，，且，，

所以，解得：，即，，

所以，因此.

故选：B.

6、（2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）设向量，，若，则实数的值为_______.

【答案】

【解析】向量，，且，则，解得.

因此，实数的值为.

故答案为：.

 题型三、平面向量基本定理及线性运算综合运用

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图可知x，y均为正，设，

共线， ，

，

则，

，

则的最小值为，故选D.

2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

【答案】BCD

【解析】由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.

【答案】

【解析】

根据题意,连接,如下图所示:

在等腰三角形中,已知,

则由向量数量积运算可知

线段的中点分别为则

由向量减法的线性运算可得

所以

因为,代入化简可得

因为

所以当时, 取得最小值

因而

故答案为:

4、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（理)试题）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】中设，，

，，

即，

，

，，

，，

，，

，根据直角三角形可得，，

，，，

以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，

则存在实数使得,

设，，则，，,

,

，则,

,

故所求的最小值为,

故选：D.

5、(2019泰州期末） 已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．

【答案】－　

    由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去或，再根据平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．

解法1(转化法) 如图，因为＋＋2＝0，所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋－)＝0，所以，3－＋2＝0，即－＋＝0，所以λ＝，μ＝－，λμ＝－.

解法2(基底法) 因为＋＋＝0，λ＋μ＋＝0，两式相减得＋＋＝＋＋－＝0，所以λ－＝1，μ－＝－1，λμ＝×＝－.

解法3(几何法)  取AB中点E，则＋＝2＝－2，所以＝，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点．

由＝＋＝－，得－＋＝0，所以λμ＝－.