(新高考)高考数学一轮复习过关练考点16 平面向量数量积及应用（含解析）

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考点16  平面向量数量积及应用  1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直 .3. 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具  平面向量的数量积作为主要的考点,是高考中的必考点,考查题型中填空题、解答题都有涉及,分值在 20 分左右,难度低、中档题为主 . 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面,有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算 . 在研究向量时,一般有两个途径:一是建立直角坐标系用坐标研究向量间的问题;二是用基底向量来研究 . 与向量数量积有关的最值问题或求参数的取值范围,可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究,也可以考虑其几何意义,从几何角度来研究    向量数量积是江苏高考必考题型，在复习是一定要注意向量数量积的两种形式：一是坐标形式，常用的方法是建立坐标系。二是模的形式，常采取的方式是向量的转化    1、【2020年山东卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.2、【2020年全国3卷】.已知向量a，b满足，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D.3、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A．   B． C．   D． 【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．4、【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．−3   B．−2C．2   D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．5、【2018年高考全国II卷理数】已知向量，满足，，则A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【解析】因为所以选B.6、（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．−1 B．+1C．2 D．2−【答案】A【解析】设，则由得，由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.7、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A．             B．    C．             D．【答案】A【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.设 = 所以当时，上式取最大值，故选A.8、【2020年天津卷】.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】    (1).     (2). 【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；. 9、【2020年浙江卷】设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【答案】【解析】，，，.故答案为：.10、【2020年北京卷】.已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】    (1).     (2). 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.11、【2020年全国1卷】14.设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：12、【2020年全国2卷】.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．13、．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以 ．14、【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.15、【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故   题型一、数量积中的夹角 1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，则，，.故选：C.2、（北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）若，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与的夹角为，则，即.故选：A.3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若则向量与向量夹角的大小是_______.【答案】【解析】由得4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.【答案】【解析】设与的夹角为，由题意,,，可得，所以，再由可得，，故答案是.5、（2020届山东省烟台市高三上期末） 已知向量,满足，，，则与夹角的大小是______．【答案】【解析】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.题型二、数量积中的模1、（2020届北京市陈经纶学校高三上学开学）已知平面向量的夹角为则（    ）A．2    B．    C．    D．【答案】D【解析】 ，故选D.2、（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（　　）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]【答案】D【解析】设，则，，∴（）2•2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又 则[0，2]．故选：D．3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（    ）A． B． C． D．5【答案】A【解析】设，，，则，从而，等号可取到．故选：A4、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知向量、满足，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】，，，，，则，则.又，，.故答案为：.5、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）设平面向量，满足，，则的取值范围是________.【答案】【解析】设，当时，∴，所以，综上所述，的取值范围是.故答案为：.6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知平面向量，满足，，则的取值范围是______.【答案】【解析】设，由，得整理得，表示椭圆上的动点到定点（左焦点）的距离，当点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为，所以取值范围是.故答案为:.7、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量满足， ，，则___________.【答案】【解析】由已知：， ，，所以，展开得到，所以，所以，所以；故答案为：．8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知向量，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【解析】由，得，①又，得，②由①②得，，且，即，，，所以，所以，所以的取值范围是，．故答案为：，．9、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】因为，所以，即解得所以（2） 若，则 所以，，，所以题型三、数量积的运用1、（北京海淀区一零一中学2019-2020学年度上学期高三开学考数学试题）已知菱形ABCD的边长为1，∠B=60°，点E，F分别是边AB，BC的中点，则的值为_____.【答案】【解析】因为，，且，所以.故答案为：.2、（2020届江苏省七市第二次调研考试）图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.【答案】【解析】如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案为：3、（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）如图，在四边形中，对角线与相交于点.已知，，，且是的中点，若，则的值为__________.【答案】【解析】如图，四点共圆，为圆的直径.设，所以，由相交弦定理得，在直角△中，由勾股定理得，在△中，由余弦定理得.因为，所以，又,所以.所以.故答案为：4、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在中，已知，若为中点，且，则____.【答案】.【解析】，解得，，故答案为：. 题型四、数量积中的综合运用1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，∴，∴，设，则，即的最大值是2.故选：A.2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，∴，当sin时，得到最小值为，故选．3、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试）如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，，且，则的最大值为______．【答案】4【解析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，，，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，，，，，可得，即有，即为，即有，又，，可得，即，则，可得，即，时，的最大值为4．故答案为4．4、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）在斜三角形中，，是中点，在边上，，与交与点.若，则_____.【答案】【解析】如下图所示，过点作交于点，则点为的中点，，为的中点，所以，，，，，，所以，，由，解得.故答案为：.