新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (24) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（24）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用复数的四则运算得到，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.

【详解】，

复数z在复平面上对应的点为，该点在第二象限，

故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，

故选：B.

【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.

2.已知全集，集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可.

【详解】,,

,

,

故选：A

【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.

3.如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据表格中的数据可先求出、的值，再结合总数为可分别求得和的值.

【详解】由表格中的数据可得，，，.

故选：B.

【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.

4.若直线，．，与平行，则下列选项中正确的（    ）

A. p是q的必要非充分条件 B. q是p的充分非必要条件

C. p是q的充分非必要条件 D. q是p的非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据与平行，得到或，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解.

【详解】因为与平行，所以或.

经检验，当或时，两直线平行.

设，或，

因为,

所以p是q的充分非必要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查两直线平行应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.在中，如果，那么的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解.

【详解】解：，

，

，即与异号，

又，，

与一正一负，

为钝角三角形．

故选：A.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ）

A. 50种 B. 60种 C. 80种 D. 90种

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.

【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：

若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，

此时有种不同的选法；

若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，

此时有种不同的选法；

则一共有种选法.

故选：C.

【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.

7.在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

设三棱柱的上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，在△中，根据勾股定理和基本不等式求出的最小值为，结合已知可得，从而可得侧面积.

【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，

设球的半径为，则，设，，

则，，

则在△中，，

当且仅当时，等号成立，

所以，所以，所以，

所以该三棱柱的侧面积为.

故选：B.

【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.

8.已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可知，设，且恒过定点，转化为函数与函数的图象有13个交点，画出函数与函数的图象，利用数形结合法，即可求出的取值范围.

【详解】解：由题可知，函数有13个零点，

令，有，

设，可知恒过定点，

画出函数，的图象，如图所示：

则函数与函数的图象有13个交点，

由图象可得：，则，即，

解得：，，.

故选：D.

【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据图象平移求得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.

【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，

若函数在区间上是单调增函数，

则满足，解得，

所以实数的可能的取值为.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（    ）

A.  B. 是等比数列 C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

由题意可知，数列为等差数列，求出数列的公差，可得出数列的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，然后利用数列的通项公式即可判断出各选项的正误.

【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，

由题意可得，解得，，

，（非零常数），则数列等比数列，B选项正确；

，，，A选项错误；

，，C选项错误；

，，

所以，，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.

11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据题意，得出的导数，可令切点的横坐标为，求得切线的斜率，由题意可得关于的方程有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得的范围，即可得答案.

【详解】解：由题可知，，

则，

可令切点的横坐标为，且，

可得切线斜率，

由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，

且可知，

则，即，

解得：，

的取值可能为，.

故选：AC.

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.

12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）

A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.

【详解】A.在正方体中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而点P在侧面所在的平面上运动，且，

所以点的轨迹就是直线，故A正确；

B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，

即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，

球心到平面的距离为1，则，

所以小圆周长，故B正确；

C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，

即平面内的点满足，

即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；

D.如图，过分别做于点，于点，

则平面，所以，过做，连结，

，所以平面，所以，

如图建立平面直角坐标系，设，

，则，，

即，整理为：，

则动点的轨迹是双曲线，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.

【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，

可得，解得：，

所以实数的取值范围为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.

14.已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则x的取值范围________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得，即可得解.

【详解】因为为偶函数，，所以，

又在单调递减，，

所以，解得.

所以x的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.

15.若，则

（1）________；

（2）________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；

（2）令，求得，根据和（1）中，即可求解.

【详解】（1）由题意，可化为，

由，可得，

令，即时，可得，

所以.

（2）令，

则，

则，

由（1）可得，

所以.

【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16.已知，是平面上不共线的两个向量，向量与，共面，若，，与的夹角为，且，，则________．

【答案】

【解析】

分析】

设，由已知，可得，，从而可求出，则，即可求出模长.

【详解】解：设，因为与的夹角为， 所以 ，

则，

，解得，

则，

故答案为: .

【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知表示.