（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点8 对数与对数函数 (含解析)

考点八  对数与对数函数

知识梳理

1．对数的概念

如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

(1)    对数式与指数式的互化：ab＝N logaN＝b；

(2)    负数和零没有对数；

(3)    loga1＝0，logaa＝1．

2. 两个重要对数

(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，

常用的两个恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．

(2)自然对数：以无理数e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作：ln N，

常用的两个恒等式：ln e＝1 ，ln＝－1．

3．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R).

(2) 对数的重要公式

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；

②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

＝N；logaaN＝N (a>0且a≠1)．

④logamMn＝logaM.

4．对数函数的图象与性质

典例剖析

题型一  对数的概念

例1　(1)方程log2(3x－1)=3的解是　     　．

(2) 已知log3(log2x)=0，那么等于　　．

答案  (1)3  (2)

解析  (1)∵log2(3x－1)=3

∴3x－1=23=8，解得x=3

故答案为：x=3．

(2) ∵log3(log2x)=0，

∴log2x=1，

∴x=2，

∴．

故答案为：．

变式训练  已知，则________.

答案

解析　由得，所以，解得，故答案为.

题型二  对数化简与求值

例2　(1)= _____________.

(2) 2log32－log3＋log38－

答案　(1)3；   (2) －1

解析　(1)原式=

(2) 原式＝log34－log3＋log38－3

＝log3(4××8)－3

＝log39－3

＝2－3

＝－1．

变式训练  (1)lg＋2lg 2－－1＝________.

(2) (log32＋log92)·(log43＋log83) ＝________.

答案　(1)－1；     (2) .

解析　(1)lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2

＝lg －2＝1－2＝－1．

(2) 原式＝

＝

＝·＝.

解题要点  对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．另外要熟记常见的恒等式：lg 5＋lg 2＝1，logambn＝logab，logab＝.

题型三  对数值的大小比较

例3　比较下列各组数的大小．

(1)log3与log5；

(2)log1.10.7与log1.20.7.

解析  (1)∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，∴log3＜log5.

(2)∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴＜，

即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.

变式训练  已知a＝，b＝log2，c＝log，则a、b、c 的大小关系是______________．

答案　c>a>b

解析  0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝log>log＝1，

即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.

解题要点  对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于1还是小于1，借助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.

题型四  对数函数的图象和性质

例4　函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．

①                         ②              ③                 ④

答案　②

解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项②正确．

变式训练  函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．

答案  (－∞，－1)　(－1，＋∞)

解析  作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．

解题要点  对数函数的图象一定要分底数大于1还是小于1，若底数大于1，则对数函数y＝logax图象是上升的，若底数小于1，则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可忽视定义域．

当堂练习

1．函数f(x)＝的定义域是________.

答案  (0,2]

解析  由题意得得0<x≤2，∴函数f(x)＝的定义域为(0,2]．

2．(log29)·(log34)＝________.

答案  4

解析  (log29)·(log34)＝×＝×＝4.

3. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则______________.

答案  a＞c＞b

解析  a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，

∴a＞c＞b.

4．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是________.

①                    ②

③           ④

答案  ②

解析  当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的图象关于x＝1对称，故选②.

5．＋log3＋log3＝________.

答案 

解析  原式＝＋log3＝－3＝.

课后作业

一、    填空题

1． 2lg2－lg的值为________．

答案　2

解析　2lg2－lg＝lg(22÷)＝lg100＝2.

2．(2014年天津卷)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a、b、c的大小关系是________．

答案  a>c>b

解析  ∵a＝log2π>1，b＝logπ<0,0<c＝<1∴b<c<a.

3．(2015陕西理)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于________．

答案　[0,1]

解析　由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1].

4．2log510＋log50.25＝________．

答案  0

解析  2log510＋log50.25＝log5(100×0.25) ＝log525＝2.

5．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系是________．

答案  a＞b＞c

解析  根据公式变形，a＝＝1＋，b＝＝1＋，c＝＝1＋，

因为lg7＞lg5＞lg3，所以＜＜，即c＜b＜a．

6．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．

答案  [，4)

解析  y＝lnt是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t>0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为[，＋∞)，当x≥4时，t≤0，所以区间[，4)符合题意．

7． (2015湖南理)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是________．

①     奇函数，且在(0,1)上是增函数

②     奇函数，且在(0,1)上是减函数

③     偶函数，且在(0,1)上是增函数

④     偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案　①

解析　易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选①.

8．已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是________．

答案  m>n

解析  ∵0<a<b<1<c，∴logca<logcb<0；

∴>，即logac>logbc，∴m>n.

9． （2015四川文）lg 0.01＋log216的值是________．

答案　2

解析　lg 0.01＋log216＝lg ＋log224＝－2＋4＝2.

10．函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是________．

答案 

解析  由，得1<x≤2，故填.

11． （2015安徽文）lg＋2lg 2－－1＝________.

答案　－1

解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2＝lg －2＝1－2＝－1.

二、解答题

12．求下列各式的值.

(1)；

(2).

解析  (1)原式＝.

(2)原式＝

＝

.

13．已知函数

(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域;

(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求实数m的取值范围．

解析  (1)若m＝1，则

要使函数有意义，需x2－x－1＞0，解得x∈

∴若m＝1，函数f(x)的定义域为．

(2)若函数f(x)在区间上是增函数，

则y＝x2－mx－m在区间上是减函数且x2－mx－m＞0在区间上恒成立，∴，且，即m≥2－2且m≤2.

∴m∈.