（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点17 三角函数的图象和性质 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点17 三角函数的图象和性质 (含解析)，共9页。
考点十七  三角函数的图象和性质知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(＋kπ，0)(k∈Z)(，0)(k∈Z)对称轴方程x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z) 周期2π2ππ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．3. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2kπ，k∈Z，最小正周期均为2π；正切函数也是周期函数，周期为kπ，k∈Z，最小正周期为π．典例剖析题型一  三角函数的定义域和值域例1　函数y＝ 的定义域为________.答案 (k∈Z) 解析  ∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.变式训练  函数y＝的定义域为________.答案  解析  要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为.例2　(1) 函数y＝2sinx的值域是________．(2) 函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________.答案  (1) [1，2]     (2) －解析  (1) 根据正弦函数图象，可知x＝时，函数取到最小值1；x＝时，函数取到最大值2.(2) ∵x∈，∴－≤2x－≤，令y＝2x－，则sin＝sin y在y∈上的最小值为sin＝－.变式训练  求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．解析  令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.解题要点  1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，通过换元，令t＝sin x(或t＝cos x)，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系通过换元，令t=sin x+cos x,转换成二次函数求值域．题型二  三角函数的单调性例3　(1)函数y＝cos的单调减区间为________．(2) 函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________________．答案  (1) (k∈Z)    (2) (k∈Z)解析　(1)由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数的单调减区间为(k∈Z)．(2) 由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).变式训练  若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为________．答案  解析　由f(x)＝－cos 2x知递增区间为，k∈Z，故只有B项满足．解题要点  1.求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．题型三  三角函数的周期性例4　函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．答案  4π解析  函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝4π.当堂练习1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．答案  －解析  因为x∈，所以2x－∈，当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.2．如果函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为，则ω的值为________．答案  12解析  T＝，ω＝＝12．3. 函数y＝的定义域为________．答案  ，k∈Z解析  ∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.4．y＝sin(x－)的图象的一个对称中心是________．答案  (－，0)解析  令x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，于是(－，0)是y＝sin(x－)的图象的一个对称中心.5．函数f(x)＝cos(2x＋)(x∈R)，下面结论不正确的是________．(填序号)① 函数f(x)的最小正周期为π② 函数f(x)的对称中心是(，0)③ 函数f(x)的图象关于直线x＝对称④ 函数f(x)是偶函数答案  ④解析  ∵f(x)＝cos(2x＋)＝sin2x(x∈R)，∴最小正周期T＝＝π，选项①正确；由2x＝kπ得x＝，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为(，0)，∴取k＝1得选项②正确；由2x＝kπ＋得x＝＋，k∈Z，∴取k＝0得函数f(x)的对称轴为x＝，∴选项③正确；∵f(x)＝sin2x(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，∴选项④不正确．课后作业一、    填空题1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝________．答案  解析  ∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．∴＝＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋π，当k＝0时，φ＝π．2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案  解析  由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.3．函数y＝cos 2x，周期为_____，且在上是________（填“增函数”或“减函数”）．答案  π，减函数解析  因为y＝cos 2x的周期T＝＝π，而2x∈[0，π]，所以y＝cos 2x在上为减函数.4．函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．答案  (k∈Z)解析  由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).5．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________．答案  解析  由题意得周期T＝2＝2π，∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴f＝sin＝±1，f＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜π，∴φ＋＝，∴φ＝.6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．答案  －解析  由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.7．(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是________．(填序号)①y＝sin     ②y＝cos     ③y＝sin 2x＋cos 2x   ④y＝sin x＋cos x答案　②解析　①项，y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；②项，y＝cos＝－sin 2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；③项，y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；④项，y＝sin x＋cos x＝sin，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．8．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．答案  解析  当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是.9．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．答案  π解析  T＝＝π.10．函数f(x)＝cos(2x－)＋3在[－，]上的单调递减区间为________．答案  [－，－]∪[，]解析  由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∵x∈[－，]，∴取k＝0得f(x)在[－，]上的单调递减区间为[，]；取k＝－1得f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]．∴f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]和[，]．11．函数y＝sin(x＋)的对称中心为________．答案  (kπ－，0)，k∈Z二、解答题12．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解析  (1)f(x)＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．13．(2015北京文)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－.＝2sin－.所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π.当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.