（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法 (含解析)，共7页。试卷主要包含了一元一次不等式的解法，分式不等式的解法，简单高次不等式解法，几点注意事项等内容，欢迎下载使用。
考点二十二  一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝，x2＝有两相等实根x1＝x2＝－无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－，x∈R}Rax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1) ＞0f(x)·g(x)＞0， ＜0f(x)·g(x)＜0；(2) ≥0，  ≤0；(3) ＞m－m＞0＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x－1)2(x－2)3＞0解集为{x|x＜0或x＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax2＋bx＋c＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a＝0和a≠0讨论．(2)解分式不等式＞m时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g(x)正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为－m＞0，然后通分求解．典例剖析题型一  一元二次不等式解法例1　解下列不等式(1)－3x2－2x＋8≥0；(2) x2－3x＋2≥0；解析  (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.(2) 原不等式可化为(x－1)(x－2)≥0，解得x≤1或x≥2．所以原不等式的解集为{x| x≤1或x≥2}．变式训练  解不等式0＜x2－x－2≤4解析  原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.解题要点  求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二  分式不等式解法例2　不等式≤0的解集为________．答案　{x|1<x≤3}解析　原不等式可化为∴1<x≤3.变式训练  函数f(x)＝ 的定义域为________．答案　(－2,1]解析　≥0⇔≤0⇔⇔⇔－2<x≤1.解题要点  求解分式不等式时，需要将各个因式x前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三  一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题例3　关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则a＋b＝________．答案  －3解析  由题意知，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴ a＋1＝－3，ab＝－4.∴ a＝－4，b＝1.∴ a＋b＝－3.变式训练  已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则a＝________，c＝________．答案  －1，－2解析  由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.解题要点  解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值．题型四  一元二次不等式恒成立问题例4　若不等式mx2－2x－1<0恒成立，则m的取值范围是________．答案  (－∞，－1)解析  由，解得m<－1.变式训练  已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______________．答案　(－∞，－)∪(，＋∞)解析　由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，即k2>2，∴k>或k<－.解题要点  一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或题型五  含参数一元二次不等式解法例5　解关于x的不等式x2－2ax－3a2＞0(a∈R，a≠0)解析　由x2－2ax－3a2＞0知(x－3a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜3a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞3a.综上，a＜0时，解集为；a＞0时，解集为.解题要点  对含参数一元二次不等式主要分三种讨论：讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x2－x＜4的解集为________．答案　{x|－1＜x＜2}解析　∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.2．不等式<0的解集为________．答案  {x|x<－1或1<x<2}解析  (x－2)(x2－1)<0，(x＋1)(x－1)(x－2)<0，数轴标根可得，x<－1或1<x<2．3. 不等式<0的解集为________．答案  (－2,1)解析  原不等式化为(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．答案  (2,3)解析  由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－，解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x的不等式x2＋(2－m)x<0的解集是{x|0<x<2}，则实数m＝________.答案  3解析  由题知x＝0或x＝2是方程x2＋(2－m)x＝0的根，可得m＝3.课后作业一、    填空题1．不等式≤0的解集为________．答案  解析  不等式≤0⇒⇒－<x≤1.2．不等式(x－1)≥0的解集为________．答案  {x|x≥1或x＝－2}解析  由(x－1)≥0，可知或x＋2＝0，解得x≥1或x＝－2.3．若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－)＜0的解集为________．答案　{x|m＜x＜}解析　当0<m<1时，m<.4．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为________．答案　{x|－1<x<}解析　由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由韦达定理⇒∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.可知x＝－1，x＝是对应方程的根，∴不等式2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－1<x<}.5．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为________．答案  解析  由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－4,1)知a＜0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－4＋1＝－，－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a＞0，即3x2＋x－4＜0，解得－＜x＜1.6．不等式－3<4x－4x2≤0的解集为________．答案  解析  原不等式可化为：4x－4x2>－3，①且4x－4x2≤0，②解①得：－<x<，解②得：x≤0或x≥1，①，②取交集得：－<x≤0或1≤x<，所以原不等式的解集为.7．函数f(x)＝－ 的定义域是________．答案  {x|2≤x<3}解析  要使函数有意义，应有即所以2≤x<3，即函数的定义域为{x|2≤x<3}．8．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是________．答案  [1,19)解析  函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3＞0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3＞0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3＞0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1＜a＜19.综上可知，a的取值范围是1≤a＜19.9．（2015广东文）不等式－x2－3x＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案　(－4,1)解析　不等式－x2－3x＋4>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.10．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．答案  a≥－5解析  由题意，分离参数后得，a≥－(x＋)，设f(x)＝－(x＋)，x∈(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.11．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}，则a的值为______．答案  3解析  ∵(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}，∴1－a<0，即a>1.于是原不等式可化为(a－1)x2＋4x－6<0，a－1>0，其解集为{x|－3<x<1}．则方程(a－1)x2＋4x－6＝0的两根为－3和1.由解得a＝3.二、解答题12．二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试解不等式f(x)>－1.解析  由于f(2)＝f(－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x＝＝，又知最大值为8.可设f(x)＝a(x－)2＋8，将f(2)＝－1代入得，a＝－4.∴f(x)＝－4(x－)2＋8.由f(x)>－1，－4x2＋4x＋7>－1，即x2－x－2<0，∴解集为{x|－1<x<2}．13．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解析  由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0，或解得－3≤a≤1.