（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点32空间几何体的三视图与直观图 (含解析)

考点三十二  空间几何体的三视图与直观图

知识梳理

1．简单多面体的结构特征

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边也都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．

正棱锥：如果一个棱锥的底面是多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，在截面和底面之间的部分叫做棱台．

多面体的结构特征：

(1)棱柱

(2)棱锥

(3)棱台　棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分

(4)正棱锥：

(5)正四面体：一个特殊的正三棱锥，它的各个面都是全等的正三角形

2.简单旋转体

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.

3．三视图及其特征

(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽.

③看不到的线画虚线，看的到的线画实线．

(3)由三视图换原实物图时，一般从最能反映物体特征的视图出发，然后结合另两个视图进行换原．

4．斜二测画法与物体的直观图

(1)基本几何体的直观图常用斜二测画法，规则是：

①在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；

③已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.

(2)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝．

典例剖析

题型一  简单几何体的概念

例1　下列结论正确的是________．

①                                                                                                                                  各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②                                                                                                                                  以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥

③                                                                                                                                  棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥

④                                                                                                                                  圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

答案　④

解析  三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项①错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项②错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项③错；选项④正确．故选④.

变式训练  下列命题中，正确的是________．

①                                                                                                                                                       有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

②                                                                                                                                                       侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

③                                                                                                                                                       侧面都是矩形的四棱柱是长方体

④                                                                                                                                                       底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

答案  ④

解析  对于①，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故①错误；对于②，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故②错误；对于③，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而③错误．

解题要点  准确弄懂简单几何体的概念是解题的关键

题型二  简单几何体的三视图

例2　一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是________．

     ①                   ②          ③                  ④

答案　②

解析  该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选②.

变式训练  (1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是________．

①                                                                                                                              圆柱　　　　　　　 ②圆锥

③四面体   ④三棱柱

(2) 已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为________．

①                                                                                                                                 上面为棱台，下面为棱柱

②                                                                                                                                 上面为圆台，下面为棱柱

③                                                                                                                                 上面为圆台，下面为圆柱

④                                                                                                                                 上面为棱台，下面为圆柱

答案　(1)①  (2) ③

解析  (1)由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选①.

(2) 由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项①、②、④.故选③.

解题要点  1. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．

2. 由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；

3. 由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．

题型三  空间几何体的直观图

例3　如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是________．

①                                                                                                                                                       等腰三角形

②                                                                                                                                                       直角三角形

③                                                                                                                                                       等腰直角三角形

④                                                                                                                                                       钝角三角形

答案  ①

解析  由斜二测画法知②正确．

变式训练  一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为________．

答案  4

解析  设原梯形的面积为S，则＝，∴S＝4.