（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点33 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)

考点三十三  空间点、直线、平面之间的位置关系

知识梳理

1．平面的概念

数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，也没有大小、轻重之分．

2．空间中的四个公理及其推论

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

3．等角定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．

②范围：.

5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

典例剖析

题型一  平面的基本性质及应用

例1　在下列命题中，不是公理的是________．

①                                                                                                                                                       平行于同一个平面的两个平面相互平行

②                                                                                                                                                       过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

③                                                                                                                                                       如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

④                                                                                                                                                       如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　①

解析  由立体几何基本知识知，②项为公理2，C项为公理1，④项为公理3, ①项不是公理．

变式训练  下列结论正确的是________．

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面

②经过两条相交直线，可以确定一个平面

③经过两条平行直线，可以确定一个平面

④经过空间任意三点可以确定一个平面

答案  3个

解析  当三点在一条直线上时不能确定平面，故④不正确，①②③正确．

解题要点  三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可确定无数个平面．

题型二  空间直线的位置关系

例2　正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．

答案  相交

解析  如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.

变式训练  如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；            ②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；        ④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案　②③④

解析　还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

解题要点  1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．

2.对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对位置．

3.正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题．

题型三  异面直线判定问题

例3　如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________．

答案 3

解析  AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．

变式训练  若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则________．

①                                                                                                                                                       α内的所有直线与l异面

②                                                                                                                                                       α内不存在与l平行的直线

③                                                                                                                                                       α内存在唯一的直线与l平行

④                                                                                                                                                       α内的直线与l都相交

答案  ②

解析  依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选②.

解题要点  判定异面直线有以下异面直线判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两条直线异面,还可依据：

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

②既不平行也不相交的两条直线是异面直线。

题型四  异面直线所成角的求解

例4　已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．

答案 

解析  如图，连接DF，

因为DF与AE平行，所以∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝，由余弦定理得cos∠DFD1＝＝.

变式训练  直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．

答案　60°

解析　如图，可补成一个正方体，

∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.

又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.

即BA1与AC1成60°的角．

解题要点  求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．

当堂练习

1．下列四个结论：

(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．

(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行．

(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．

(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．

其中正确的个数为________．

答案 

解析  对(1)，两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能;

对(2)，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面;

对(3)，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能;

对(4)，一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.

2．以下命题正确的是________．

①两个平面可以只有一个交点

②一条直线与一个平面最多有一个公共点

③两个平面有一个公共点，它们可能相交

⑤       两个平面有三个公共点，它们一定重合

答案  ③

解析  对于①，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故①错．

对于②，直线在平面内时，可以有无数个公共点．

对于④，当三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故④错．

3. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．

答案  相交

解析  直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

4．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是________．

答案  平行、异面或相交

解析  当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.

5．三个平面两两相交，则交线条数为________．

答案  1或3

课后作业

一、    填空题

1．四个命题：

(1)空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；

(2)空间三点可确定一个平面；

(3)空间一点和一条直线可确定一个平面；

(4)A与B两点到直线距离相等，则直线和AB确定一个平面．

其中正确命题的个数为________．

答案  0个

解析  (1)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；

(2)若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；

(3)空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；

(4)若过A、B两点的直线与直线异面正方体的棱与底面的对角线异面A、B两点为两顶点)，不能确定一个平面．

2．给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其中正确的有________．

答案  0

解析  根据平面的概念知，四个命题都不正确．

3．对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件

答案  充分不必要

解析  ∵两条直线为异面直线⇒这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时，未必是异面直线，∴“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件．

4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定______．(填序号)

①与a，b都相交

②只能与a，b中的一条相交

③至少与a，b中的一条相交

④与a，b都平行

答案  ③

解析  若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．

5．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)

①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

答案　②

解析　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故①不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确．

6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；                    ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；        ④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.

答案　③④

解析　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a.

∴由直线a与点P确定唯一平面α.

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，

∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

7．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．

答案  平行或异面

解析  两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交．

8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中________．(填序号)．

①AB∥CD    ②AB与CD相交   ③AB⊥CD     ④AB与CD所成的角为60°

答案  ④

解析  如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项①、②、③不正确．∴正确选项为④．图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°．

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

  ①直线AM与CC1是相交直线；    ②直线AM与BN是平行直线；

  ③直线BN与MB1是异面直线；    ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．

答案  ③④

解析  直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．

答案  90°

解析  如图所示，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.

所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，

故A1M2＋MK2＝A1K2，即∠A1MK＝90°.

11．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．

答案  30°　45°

解析  ∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.

∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，

由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，

∴B1C1＝BC＝a.∴四边形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.

二、解答题

12． 直三棱柱 ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，求异面直线BA1与AC1所成的角．

解析  分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120°.

13．如图，E，F，G，H分别是空间四边形AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.

求证：B，D，O三点共线．

证明：∵E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH⊂平面ABD.

∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.

同理可证O∈平面BCD.∴O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B，D，O三点共线．