（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点41 直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)，共8页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆心距O1O2＝d，则，求圆的弦长的常用方法，相交两圆公共弦所在直线方程求法，已知直线l，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

考点四十一 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆相交，有两个公共点；
(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；
(3) 直线与圆相离，无公共点．
2. 直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
3. 圆与圆的位置关系及判断方法
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2) 判断两圆位置关系的方法
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
两圆公切线的条数
相离
d>r1＋r2
无解
4
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
3
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
2
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
1
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
0
4. 圆的切线的常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
6．相交两圆公共弦所在直线方程求法
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．将两圆方程相减，得到关于x和y的一次方程，即为公共弦所在直线方程．
典例剖析
题型一 判断直线与圆的位置关系
例1　直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________．
答案　相交
解析　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
变式训练 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆D的位置关系是__________．
答案 相交
解析 由点M在圆外，得a2＋b2>1，
∴圆心D到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，则直线与圆O相交．
解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
题型二 直线与圆相交弦长问题
例2　在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.
变式训练 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是__________．
答案　－4
解析　由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
解题要点 与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
题型三 直线与圆相切问题
例3　过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________；
答案　x＝2或4x－3y＋4＝0
解析　当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，即4x－3y＋4＝0.
综上，所求切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
变式训练 过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为________________．
答案 y＝±x
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.则圆心(2,0)，半径r＝.设直线方程为y＝kx.则＝，解得k＝±1，所以直线方程为y＝±x.
例4　过点P(4，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为____________．
答案　3x＋y－4＝0
解析 方法1：如图所示，A点的坐标为(1，1)，


∵AB⊥PC，kPC＝，
∴kAB＝－3，∴直线AB的方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
方法2：把点P代入切点弦公式，得方程为：(4－1) ·(x－1) ＋1·y＝1，
即方程为3x＋y－4＝0.
解题要点 过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外．如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在．当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题．
①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为x0x＋y0y＝r2.
题型四 圆与圆的位置关系问题
例5　圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
答案 相交
解析　两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，
圆心距d＝＝．
∵3－2 变式训练 过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是________．
答案 x＋y＋2＝0
解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，即x＋y＋2＝0．
解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于x和y的一次方程，即为公共弦所在直线方程．
当堂练习
1．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是________．
答案 ±
解析 设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，又l与圆相切，∴＝1，∴k＝±．
2．直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于________．
答案
解析 圆心为(－2，2)，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由勾股定理求出弦长的一半为，所以弦长为．
3. 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
答案 相交或相切
解析 直线x－ky＋1＝0过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
答案 x－y＋2＝0
解析 设所求切线方程为y－＝k(x－1)．⇒x2－4x＋(kx－k＋)2＝0．
该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k＝．
∴y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0．
5．直线y＝x＋b与曲线y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
答案 1≤b<
解析 曲线为x2＋y2＝1(y≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b<．

课后作业
一、 填空题
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．
答案 x－y＋1＝0
2．过两圆x2＋y2＋3x＋2y＝0及x2＋y2＋2x＋6y－4＝0的交点的直线方程是________．
答案 x－4y＋4＝0
解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2＋y2＋3x＋2y－(x2＋y2＋2x＋6y－4)＝0，即x－4y＋4＝0．
3．已知直线l：y＝k(x－1)－与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为________．
答案　
解析　由题意知，＝1，∴k＝－.∴直线l的倾斜角为.
4．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是________．
答案　(x＋)2＋y2＝5
解析　设圆心为(a,0)(a<0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝5.
5．若过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝________．
答案　
解析　如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，

∴OA⊥AP.
∵P(1，)，O(0,0)，∴|OP|＝＝2.
又∵|OA|＝1，∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝.
∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝.
6．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
答案 4
解析 ∵点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝2＝4.
7．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则________．
答案 l与C相交
解析 ∵32＋0－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内，∴直线l与圆C相交．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．
答案 2
解析 圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，∴弦AB＝2＝2.
9．设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－，)，则直线l的方程为________；|AB|＝________．
答案 x－y＋2＝0　
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋y－2y1＝0，x＋y－2y2＝0，两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)－2(y1－y2)＝0，kAB＝＝1．
故l的方程为y－＝1·(x＋)，即x－y＋2＝0．
又圆心为(0，1)，半径r＝1，故|AB|＝．
10．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．
答案　(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8
解析　由题意可设圆心A(a，a)，

如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件＝，即a＝1.
二、解答题
12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
解析　∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，
∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.
又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝.
∴有d2＋()2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
13．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
解析 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.