（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点43 双曲线 (含解析)

考点四十三  双曲线

知识梳理

1．双曲线的概念

把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．

用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是x2或y2的系数．若x2系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．

3．双曲线与椭圆的区别

(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；

(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；

(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2， c＞a．

典例剖析

题型一  双曲线的定义和标准方程

例1　设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．

答案　x2－y2＝1

解析　由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，

所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.

变式训练  与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为________．

答案　－＝1

解析　椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，

设双曲线的标准方程为－＝1(m>0，n>0)，则，解得m＝n＝2.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

解题要点  求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．在求解时，注意巧设方程，可以减少讨论以及计算的难度，一般来说：

(1)与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为－＝1 (mn>0)，也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便．

题型二  双曲线的离心率

例2　已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________．

答案  1

解析　由题，c＝2a. ∴c2＝4a2，又c2＝a2＋3，∴4a2＝a2＋3，a2＝1，

∵a>0，∴ a＝1．

变式训练  若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．

答案　

解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.

∴e2＝＝5，∴e＝.

解题要点  1.注意双曲线中a，b，c的关系，在双曲线中c2＝a2＋b2， c＞a．

2. 注意离心率公式及其变式运用，e＝＝＝，

e＝＝  .

题型三  双曲线的渐近线

例3　设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．

答案  －＝1　y＝±2x

解析  设双曲线C的方程为－x2＝λ，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，

∴C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.

变式训练  已知双曲线C：－＝1的离心率为，则C的渐近线方程为________．

答案  y＝±x

解析  由双曲线的方程－＝1知，双曲线的焦点在x轴上，∴＝()2＝3，

∴n＝，∴a2＝，b2＝4－＝，从而双曲线的渐近线方程是y＝±x.

解题要点  1.已知双曲线方程－＝1，求渐近线时可直接将1换为0，解方程－＝0求出渐近线．

2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.

当堂练习

1．（2015广东理）已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．

答案　－＝1

解析　因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1.

2．（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是________．

①x2－＝1  ②－y2＝1    ③x2－＝1  ④－y2＝1

答案　①

解析　由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选①.

3. （2015福建理）若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．

答案　9

解析　由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9.

4．（2015山东文）过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

答案　2＋

解析　把x＝2a代入－ ＝1；得y＝±b.

不妨取P(2a，－b)．又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c,0)，

∴kF2P＝.由题意，得＝.

∴(2＋)a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝＝2＋.

5．（2015北京文）已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.

答案　

解析　由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.

课后作业

一、    填空题

1． （2015天津文）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________．

答案　x2－＝1

2．（2015湖南文）若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．

答案　

解析　由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，

即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.

3．（2015新课标II理）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．

答案　

解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，

∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝.

4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是________．

答案  －＝1

解析  由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.由离心率e＝，知＝，则a＝2，

故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为－＝1.

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．

答案  y＝±x

解析  ∵e＝＝，∴e2＝＝＝.∴a2＝4b2，＝.∴渐近线方程为y＝±x＝±x.

6．（2015新课标Ⅰ理）已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是________．

答案　

解析　由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量，，然后利用向量的数量积公式求解．

由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，

∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．

∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，

即x－3＋y<0.

∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，

∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.

7．（2015重庆文）设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．

答案　±1

解析　双曲线－＝1的右焦点F(c,0)，左、右顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，

则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，

∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.

8．（2015新课标II文）已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

答案　－y2＝1

解析　由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.

9． （2015天津文）双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．

答案　2　y＝±x

解析　由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2，渐近线方程为y＝±x.

10．（2015湖南理）设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．

答案　

解析　不妨设F(c,0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.

11．（2015新课标Ⅰ文）已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

答案　12

解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝＝12.

二、解答题

12．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解析 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，∴双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，

又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.

∴＝3，得a＝3，b＝4，

∴双曲线G的方程为－＝1.

13．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．

解析  切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.

∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，

∴两渐近线方程为3x±y＝0.

设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．

∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，

∴所求的双曲线方程为－＝1.