（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点46 抽样方法 (含解析)

考点四十六  抽样方法

知识梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．常用方法：抽签法和随机数法．

(2)简单随机抽样特点

①总体个数较少；

②简单随机抽样是逐个不放回抽样；

③每个个体被抽到的概率相等，都为．

2．抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，充分搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，这样就得到一个容量为n的样本．

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，一个抽样实验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

3．随机数法

随机数法也就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．

随机数法的步骤：

①将总体中的N个个体编号；

②在随机数表中选择开始数字；

③按某个方向读数获取样本号码．

随机数法适用于总体中个体数较多的情况，简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便．

4．系统抽样

(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本．

(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．

(3)系统抽样是等距离抽样．

5．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．

(3) 分层抽样中，每层抽取的个体的比例是相同的，即.

6．三种抽样方法的比较

典例剖析

题型一  简单随机抽样

例1　(2013·高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．

答案  01

解析  由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.

变式训练  下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有________．

①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；

③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．

答案  0个

解析  ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．

解题要点  简单随机抽样特点：①总体个数较少；②简单随机抽样是逐个不放回抽样；

③每个个体被抽到的概率相等．

题型二  系统抽样

例2　为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是________．(填序号)

①     5，10，15，20，25；② 2，4，8，16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27，37，47.

答案  ④

解析  利用系统抽样，把编号分为5段，每段10袋，每段抽取一袋，号码间隔为10，故选④.

变式训练  将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为________．

答案  25，17，8

解析  依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17.

解题要点  系统抽样是等距离抽样，假设第1段抽取的个体编号为l(l≤k)，分段间隔为k(k∈N*)，则将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

题型三  分层抽样

例3　(1)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

(2) 某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________．

答案  (1)60    (2) 99

解析  (1)根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.

(2) 由题设可知＝0.17，∴  x＝510.

∴高三年级人数为y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为×990＝99.

变式训练  某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________．

答案  90

解析  依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

解题要点  分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式计算：

(1)＝；

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

题型四  抽样方法选取问题

例4　某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．

答案  分层抽样法

解析  从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．

变式训练  某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．

答案  分层抽样法，简单随机抽样法

解析  一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．

解题要点  正确把握三种抽样方法的适用范围及特点是解题的关键．当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的方法；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．

当堂练习

1．（2015四川文）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________．

答案　分层抽样法

解析　结合几种抽样的定义.

2．（2015北京文）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为________．

答案　180

解析　由题意抽样比为＝，∴该样本的老年教师人数为900×＝180(人)．

3. （2015湖南文）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．

答案　4

解析　由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.

4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是________．

答案  3,13,23,33,43

解析  间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.

5．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是________．

答案  30,45,15

解析  抽取比例是＝，

故三校分别抽取的学生人数为3 600×＝30,5 400×＝45,1 800×＝15.

课后作业

一、    填空题

1．(2014·四川文)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是________．

答案　总体

解析　5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量.

2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是________．

答案  按学段分层抽样

解析  因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．

3． (2014年重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．

答案  100

解析 由分层抽样的特点可知＝，得n＝100.

4．为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是________．

答案  7,17,27,37,47

解析  利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.

5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________．

答案 90

解析 依题意得×n＝18，

解得n＝90，

即样本容量为90.

6．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是________．

答案  5

解析  设第一组确定的号码是x，则x＋(16－1)×8＝125，解得x＝5.

7．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________．

答案  16

解析  由题意得＝0.19，得x＝380.

∴三年级的人数为2 000－373－377－380－370＝500，由分层抽样的特点可知＝，得n＝16.

8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．

答案 10

解析 由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组＝30人，根据系统抽样的方法可知，i＝9，k＝30，在第1组到第32组依次抽取到的是9,9＋30，9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人.

9．（2015福建文）某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．

答案　25

解析　由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取人数：45×＝25.

10．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．

答案 15

解析 高二年级学生人数占总学生人数的，样本容量为50，则50×＝15，所以从高二年级抽取15名学生．

11．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为________．

答案 1 211

解析 ∵＝20，

∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码．

∴第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211.

二、解答题

12．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

解析　(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．

所以P(B)＝＝.

13．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，求C产品的数量．

解析  设C产品的数量为x，则A产品的数量为1 700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知＝＝，得x＝800.

∴C产品的数量为800.