（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点51 变量间的相关关系与统计案例 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点51 变量间的相关关系与统计案例 (含解析)，共13页。试卷主要包含了相关关系，散点图，正相关与负相关，回归直线方程，相关系数，独立性检验等内容，欢迎下载使用。

考点五十一 变量间的相关关系与统计案例
知识梳理
1．相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．散点图
通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
3．正相关与负相关
从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
4．回归直线方程
(1)曲线拟合
从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．
(2)线性相关
在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
(3)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(4)回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．

说明：回归直线必过样本中心(，)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上．
5．相关系数
相关系数r＝ ＝ ；
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
6．独立性检验
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1；
2×2列联表：

B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
构造一个随机变量χ2＝.
利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
典例剖析
题型一 相关关系判断
例1　变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．
①r2 答案　③
解析　对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0 变式训练 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是________．
答案　①④
解析 由回归直线方程＝x＋，知当>0时，x与y正相关，当<0时，x与y负相关，所以①④一定错误．
解题要点 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．
题型二 回归分析
例2　已知x，y取值如下表：

x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝________．
答案 1.45
解析 ∵＝＝4，＝＝5.25，
又＝0.95x＋a过(，)，∴5.25＝0.95×4＋a，得a＝1.45.
变式训练 已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为________．
答案 0.5
解析 ＝＝，＝＝，把(，)代入线性回归方程，＝2.1×＋0.85，m＝0.5.
解题要点 回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，)．利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数．
例3　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解析 (1)由题意，作散点图如图．

(2)由对照数据，计算得iyi＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
＝4.5，＝3.5，
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所以回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
变式训练 (2015新课标Ⅰ文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.




(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·
(yi－)
(wi－)·
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(I)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(III)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(II)的结果回答下列问题：
(i)当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
(ii)当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－　.
解析 (I)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(II)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(III)(i)由(II)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
(ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时， 取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
解题要点 (1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．
(2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
(3) 求解回归方程关键是确定回归系数，，因求解的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如，，x，xiyi等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(，)，即有y＝＋，可确定.
题型三 相关分析
例4　有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀
非优秀
总计
甲班
10
b

乙班
c
30

总计


105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是________．
① 列联表中c的值为30，b的值为35
② 列联表中c的值为15，b的值为50
③ 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
④ 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
答案 ③
解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
变式训练 在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率．
解析 (1)2×2列联表如下：

患色盲
不患色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1 000
(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得
χ2＝≈27.14，
又P(χ2≥10.828)＝0.001，即H0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.
解题要点 (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出χ2的值．
(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．
当堂练习
1．(2015湖北文)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是________．
①x与y正相关，x与z负相关 ②x与y正相关，x与z正相关
③x与y负相关，x与z负相关 ④x与y负相关，x与z正相关
答案　③
解析　因为y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x与y负相关．又y与z正相关，故可设z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x与z负相关．
2．(2014·湖北卷) 根据如下样本数据

x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则________．
①a＞0，b＜0 ②a＞0，b＞0 ③a＜0，b＜0 ④a＜0，b＞0
答案 ①
解析 作出散点图如下：

由图象不难得出，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0，所以a>0，b<0．
3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，得K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是________．
① 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
② 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
③ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
④ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
答案 ①
解析 因为7.8>6.635，所以选项①正确．
4．下列有关样本相关系数的说法不正确的是________．
①相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度
②|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大
③|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小
④|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小
答案　④
5．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则两变量的回归方程为________．
答案　＝0.56x＋997.4
解析　回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．
课后作业
一、 填空题
1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为_____．
答案 1
解析 根据相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．
2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是______．
①y与x具有正的线性相关关系
②回归直线过样本点的中心(，)
③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
答案 ④
解析 由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心(，)，利用回归方程可以预测估计总体，所以④不正确.
3．(2015新课标II文)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是________．

① 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
② 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
④2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案　④
解析　从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，①选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，②选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即③选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，④选项错误，故选④．
4．下面是一个2×2列联表

y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
合计
b
46
120
其中a，b处填的值分别为________．
答案　52　74
解析　由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74．
5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________．

P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
答案 99%
解析 因为K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．
答案 3
解析 由＝0.7＋0.35得＝0.7×＋0.35⇒＝3.5⇒t＝3.
7．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．
　　　 表1　　　　　　　　　 　表2
成绩
性别　
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性别　
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52

表3　　　　　　　　 　　表4
　 智商
性别　
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52

　　阅读量
性别　
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
答案 阅读量
解析 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481．
8．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为________．
答案 6.5 h
解析 将600代入线性回归方程＝0.01x＋0.5中得需要的时间为6.5 h.
9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科
文科
合计
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
答案　5%
解析　由K2的观测值k≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.
10．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为________cm.
答案 56.19
解析 根据回归方程＝1.197x－3.660，将x＝50代入，得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.
11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程为________．
答案 ＝1.23x＋0.08
解析 设回归直线方程为＝1.23x＋a，由题意得：5＝1.23×4＋a，得a＝0.08，故回归方程为＝1.23x＋0.08.
二、解答题
12． (2013·重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，
b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，
线性回归方程也可写为＝x＋.
解析 (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝＝＝0.3，
a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7千元．
13．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表.

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别有关？
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解析 (1)在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为＝，∴男性应该抽取20×＝4人．
(2)∵K2≈8.333，且P(K2≥7.879)＝0.005＝0.5%，所以有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关系．