(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第3章 第9讲　函数模型及其应用 (含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第3章 第9讲　函数模型及其应用 (含解析)，共17页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第9讲　函数模型及其应用


一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
常用结论
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
二、教材衍化
1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D．根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)

A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D．由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
解析：设隔墙的长度为x(0 答案：3

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　)
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等；
(2)建立函数模型出错．
1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y＝
答案：y＝
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝
－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：18

考点一　用函数图象刻画变化过程(基础型)
复习指导能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．
核心素养：数学建模
1．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)


解析：选B．水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．
2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选D．根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
考点二　函数模型的选择(应用型)
复习指导会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
核心素养：数学建模、数学运算
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解】　(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得
所以y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得所以y＝·()x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得所以y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型．

根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点
(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．
(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a<0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a>0)．
(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．
　某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
答案：(1)120　(2)80
考点三　构建函数模型解决实际问题(应用型)
复习指导了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用．
核心素养：数学建模、数学运算
角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0 L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．

建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
即：

[提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
角度二　构建指数、对数函数模型
(1)(2020·广西桂林一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【解析】　(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y.则有y＝，依题意得≤，整理得22x≥100，解得x≥4，所以至少需要的年数是4，故选C．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
【答案】　(1)C　(2)6　10 000

指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．

1．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
解析：设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
答案：10
2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，
则2%≤0.1%，即≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，
所以n＝8.
答案：8
3．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由题图可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.
当t＝4时，v＝12，所以s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝×t×3t＝t2；
当10 当20 综上可知，s随t变化的规律是
s＝
(3)当t∈[0，10]时，smax＝×102＝150<650，
当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．

[基础题组练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C．根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

解析：选D．依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4 3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A．设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝.当x＝10时，y1＝＝2，所以m＝20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y2＝nx.当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A．
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：选B．若2018年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B．
5．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A． 1010.1 B． 10.1
C． lg 10.1 D． 10－10.1
解析：选A．根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg ＝10.1，所以＝1010.1，故选A．
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．　
答案：8
7．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池的直径和方田的边长分别是________步和________步．(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)
解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．
答案：20　60
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0 故y＝(x∈N*)．
当0 答案：y＝(x∈N*)　16
9.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x
＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．
10．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？
解：(1)依题意，y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以解得a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64 [综合题组练]
1．(创新型)我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(　　)
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C．如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C．
2．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：选B．由题知＝≈2170.令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与最接近的数为1051.故选B．
3．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温单位：℃)满足函数关系t(x)＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．
①该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品．并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．

解析：①因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k＋6＝16，解得k＝－.
所以t(8)＝2－4＋6＝4.
②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．
答案：4　过了
4．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
5．某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为g(x)＝

①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5 ②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：
(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，
因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，
即f(x)≤恒成立，满足条件③，
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．