(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 (含解析)

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第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


一、知识梳理
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
常用结论
1．象限角

2．轴线角

3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
二、教材衍化
1．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－　二
2．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．　
答案：
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
二、易错纠偏
常见误区(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C．由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).
2．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C．由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C．
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝________．
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.

答案：－1

考点一　任意角与弧度制(基础型)
复习指导了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
核心素养：数学抽象
角度一　象限角及终边相同的角
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；　　　　
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．－是第三象限角，故①错误；
＝π＋，所以是第三象限角，故②正确；
－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；
－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C．
2．若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选C．因为α是第二象限角，所以＋2kπ