(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第3讲　第2课时　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．计算：＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选D．原式＝－·＝－tan＝－×＝－.

2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)

A．－   B．

C．   D．

解析：选D．由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D．

3．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　)

A．±  B．－

C．  D．±

解析：选D．sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D．

4．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)

A．   B．

C．－  D．－

解析：选C．由题意知＝sin 2θ，

所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，

则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，

因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．

5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)

A．或　　　　　　　 B．或

C．或   D．或

解析：选D．因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，

则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，

所以cos＝，

所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D．

6．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝________．

解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.

答案：

7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________．

解析：因为sin α＝－，α∈，

所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.

答案：

8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于________．

解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)

＝·cos 10°

＝·

＝＝＝－1.

答案：－1

9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝，β∈，

得sin β＝，tan β＝2.

所以tan(α＋β)＝

＝＝1.

因为α∈，β∈，

所以<α＋β<，

所以α＋β＝.

10．已知sin＝，α∈.求：

(1)cos α的值；

(2)sin的值．

解：(1)sin＝，

即sin αcos＋cos αsin＝，

化简得sin α＋cos α＝，①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②解得cos α＝－或cos α＝，

因为α∈.所以cos α＝－.

(2)因为α∈，cos α＝－，

所以sin α＝，

则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，

所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.

[综合题组练]

1．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．α－β＝  B．α＋β＝

C．2α－β＝  D．2α＋β＝

解析：选A．tan α＝＝＝＝＝tan.

因为α∈，β＋∈，

所以α＝β＋，即α－β＝.

2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A．   B．

C．或   D．或

解析：选A．因为α∈，β∈，

所以2α∈.

又0<sin 2α＝<，所以2α∈，

即α∈，所以β－α∈，

所以cos 2α＝－＝－.

又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝

－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)

＝－×－×＝.

又α∈，β∈，

所以α＋β∈，所以α＋β＝，故选A．

3．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．

解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.

答案：

4．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．

解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

答案：

5.(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

解：连接OB，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点O对称，

所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ

＝400sin 2θ.因为θ∈，

所以当sin 2θ＝1，

即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

6．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.

(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，

得sin α＝，又α∈，

所以cos α＝.

由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，

得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.