(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第6章 第3讲　平面向量的数量积及应用举例 (含解析)

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第3讲　平面向量的数量积及应用举例


一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意]　当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
[注意]　投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.

结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
常用结论
(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12 B．6
C．3 D．3
解析：选B．a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b