(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第7章 第5讲　高效演练分层突破 (含解析)

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[基础题组练]
1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．1
C．－2 D．2
解析：选C．法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C．
法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C．
2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝(　　)
A．26 B．52
C．78 D．104
解析：选B．设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝4a7，所以a＝4a7≠0，解得a7＝4，
因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，
所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.故选B．
3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S8＝(　　)
A．－38 B．38
C．－17 D．17
解析：选A．因为f(x)＝ln x＋x2－8x，所以f′(x)＝＋x－8＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.
又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，
所以a6＝，a8＝，所以解得
所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A．
4．(多选)(应用型)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　)
A．Sn＜500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400
解析：选AC．第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了 m，第三次着地时，共经过了 m，…，以此类推，第n次着地时，共经过了 m．所以Sn＝100＋＝100＋400.则Sn是关于n的增函数，所以当n≥2时，Sn的最小值为S2，且S2＝.又Sn＝100＋400＜100＋400＝500.故选AC．
5．(创新型)(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
解析：选C．由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，
故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
所以{an}是周期为3的周期数列，
且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.
因为2 019＝673×3，
所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C．
6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为__________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为即所以可得所以a5＝a1＋4d＝0，因为Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
答案：0　－10
7．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.
答案：32
8．(2020·湖南岳阳一模)曲线y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线斜率为an，则数列的前n项的和为________．
解析：对y＝x＋ln x(n∈N*)求导，可得y′＝＋，由曲线y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线斜率为an，可得an＝＋＝n.所以＝＝－，则数列的前n项的和为1－＋－＋…＋－＝.
答案：
9．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．
解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列{}为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝＝，
所以Tn＝＝＝.
由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，
所以n的最小值为5.
10．(创新型)(2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．
(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M－数列”；
(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由得
解得
因此数列{an}为“M－数列”．
(2)因为＝－，所以bn≠0.
由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.
由＝－，得Sn＝，
当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，
得bn＝－，
整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N*)．
[综合题组练]
1．(综合型)(2020·湖北十堰调研)已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为(　　)
A．5 B．11
C．20 D．25
解析：选D．由等差数列{an}的公差为－2可知该数列为递减数列，则a2，a3，a4中a2最大，a4最小．又a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为120°，由余弦定理得a＝a＋a＋a3a4.设首项为a1，则(a1－2)2＝(a1－4)2＋(a1－6)2＋(a1－4)(a1－6)，整理得(a1－4)(a1－9)＝0，所以a1＝4或a1＝9.又a4＝a1－6＞0，即a1＞6，故a1＝4舍去，所以a1＝9.数列{an}的前n项和Sn＝9n＋×(－2)＝－(n－5)2＋25.故Sn的最大值为S5＝25.故选D．
2．(创新型)(2020·江西上高模拟)定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为(　　)
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
解析：选C．依题意，要使“绝对和数列”{an}前2 019项的和S2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可．因为a1＝2，绝对公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍)，所以a3＝－2或a3＝2(舍)，所以a4＝－1或a4＝1(舍)，…，所以满足条件的数列{an}的通项公式
an＝所以S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝2＋(－1－2)×＝－3 025，故选C．
3．已知an＝3n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：Tn＝＝－＋，
所以Tn＋＝，
则原不等式可以转化为k≥＝恒成立，
令f(n)＝，
当n＝1时，f(n)＝－，当n＝2时，f(n)＝0，
当n＝3时，f(n)＝，当n＝4时，f(n)＝，即f(n)是先增后减，当n＝3时，取得最大值，所以k≥.
答案：k≥
4．(创新型)(2020·山西太原期中改编)已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an }的前n项和，则a29＝______，使得Sn＜1 000成立的n的最大值为______．
解析：数列{an}的前n项依次为1，2，3，22，5，7，23，….利用列举法可得，当n＝35时，P∪Q的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a29＝49.S35＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962＜1 000.当n＝36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前36项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，59，61，2，4，8，16，32，S36＝31＋×2＋＝961＋62＝1 023＞1 000.所以n的最大值为35.
答案：49　35
5．(应用型)(2020·重庆八中4月模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.
(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；
(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)
解：(1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.
故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5.
所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63，则＜49，
故到2038年结束后不需要调整政策．
6．(创新型)已知在等差数列{an}中，a2＝5，a4＋a6＝22，在数列{bn}中，b1＝3，bn＝2bn－1＋1(n≥2)．
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)定义x＝[x]＋(x)，[x]是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0≤(x)＜1.记数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝5，a4＋a6＝22，所以a5＝＝11，所以d＝＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝5＋2(n－2)＝2n＋1.又b1＝3，bn＋1＝2(bn－1＋1)(n≥2)，所以{bn＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以bn＋1＝2n＋1(n≥2)，所以bn＝2n＋1－1(n≥2)．易知b1＝3满足上式，所以bn＝2n＋1－1(n∈N*)．
(2)由二项式定理知，当n≥1时，2n＋1＝2(1＋1)n≥2(C＋C)＝2(1＋n)＞2n＋1，所以cn＝＝，所以Sn＝＋＋＋…＋①，
Sn＝＋＋＋…＋②，
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－－
＝－，
故Sn＝－.