2023年山东省济宁市中考数学试卷（含解析）

2023年山东省济宁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数，中无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

5.  如图，，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

7.  下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式______ ．

12.  一个多边形的内角和是，则这个多边形是______ 边形．

13.  某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得，用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是______ ．

14.  已知实数满足，则 ______ ．

15.  如图，是边长为的等边三角形，点，在边上，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．
学校抽取了部分学生的劳动积分积分用表示进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．

请根据图表信息，解答下列问题：
统计表中 ______ ，等级对应扇形的圆心角的度数为______ ；
学校规定劳动积分大于等于的学生为“劳动之星”若该学校共有学生人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．

18.  本小题分
如图，是矩形的对角线．
作线段的垂直平分线要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明；
设的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求四边形的周长．

19.  本小题分
如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
求反比例函数的解析式；
将直线向上平移个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积．

20.  本小题分
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等．
，两种型号充电桩的单价各是多少？
该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？

21.  本小题分
如图，作，交于点，若．
如图，连接，求证：≌；
如图，是上一点，在上取一点，使，连接请问：三条线段，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．

 

22.  本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
求抛物线的解析式；
若，当为何值时，四边形是平行四边形？
若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据无限不循环小数是无理数可得：是无理数．
故选：．
根据无理数定义进行判断．
本题主要考查了无理数的知识、有理数的知识，难度不大，掌握无理数定义是解答的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是中心对称图形，所以符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：：，故选项A错误，
：，故选项B错误，
：，故选项C错误，
：．
故选：．
本题考查整式的乘法，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识．
本题考查整式的乘法，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识．解题的关键是能熟练区分并运用整式的乘法运算．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得且，
解得且，
故选：．
根据分式的分母不能为和二次根式的被开平方数大于等于进行求解．
此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是平角，，
，
．

故选：．

利用平角的定义及角的和差关系，先求出，再利用平行线的性质求出．
本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出的度数是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这名学生的定时定点投篮进球数从小到大排列，排在第和第个数是，所以中位数是，故选项A不符合题意；
这名学生的定时定点投篮进球数出现最多的数是，所以众数是，故选项B不符合题意；
平均数是：，故选项C不符合题意；
方差是：，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据中位数、众数、加权平均数以及方差的定义解答即可．
此题考查了加权平均数，中位数、众数和方差的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：：是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
：，故选项B错误，
：，故选项C正确，
：，故选项D错误．
故答案为：．
本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．
本题考查一元二次方程的解法中的因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：由三视图可知，原几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的几何体，其中圆柱底面圆的直径为，高为，圆锥底面圆的直径为，母线长为，
所以几何体的表面积为：，
故选：．
把三视图还原成原来的几何体，再根据视图中的数据计算即可．
本题考查三视图，根据三视图判断几何体，并能找出底面圆的直径，高，母线长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，连接，
，
．
，，，
，
是直角三角形，
，
．
故选：．
过点作，连接，根据平行线的性质得出根据勾股定理求出，，，那么，根据勾股定理的逆定理得出，进而求出的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
的值按照，，，，次一个循环周期的规律出现，
，
的值是，
故选：．
通过分别计算，，，，，的值归纳出的值出现规律进行求解．
此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现的规律．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设一次函数的解析式为．
一次函数的图象经过点，
，
又函数值随自变量的增大而增大，
，
，符合题意，
符合上述条件的函数解析式可以为．
故答案为：答案不唯一．
设一次函数的解析式为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出，利用一次函数的性质可得出，取，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】五 

【解析】解：设此多边形的边数为，
则，
解得：，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．
本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：延长交与点，

由题意得：，，，，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
该建筑物的高是，
故答案为：．
延长交与点，根据题意可得：，，，，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，







，
故答案为：．
由已知条件可得，将先变形整理得，然后将代入整理可得，再将代入运算即可．
本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果．
本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的运算进行计算．
本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负指数的知识，难度不大．
 

17.【答案】   

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
等级对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，；
人，
答：估计该学校“劳动之星”大约有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种，
恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
由等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，直线就是线段的垂直平分线，

四边形是菱形，理由如下：如图，
由作图可知，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
四边形是矩形，，
，，
由可设，则，
，
，即，
解得，
四边形的周长为：． 

【解析】分别以、为圆心，大于为半径画弧，分别交于点、，连接，则问题可求解；
由题意易得，易得≌，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；
设，则，然后根据勾股定理建立方程求解即可．
本题考查了基本作图，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质与判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定以及垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为；
过点作轴于，交于点，如图：

将直线向上平移个单位后，其函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得：
，
解得：，
直线的函数解析式为，
联立解析式得：
解得：，
点坐标为，
在中，当时，，
，
；
的面积为． 

【解析】用待定系数法求函数解析式；
根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定点坐标，再用待定系数法求直线的解析式，利用三角形面积公式列式计算．
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
 

20.【答案】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据题意得，解得，经检验是原方程的解，．
答：型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元；
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意，得：，
解得：．
为整数，
，，．
该停车场有种购买机床方案，方案一：购买个型充电桩、个型充电桩；方案二：购买个型充电桩、个型充电桩；方案三：购买个型充电桩、个型充电桩．
型机床的单价低于型机床的单价，
购买方案三总费用最少，最少费用万元． 

【解析】设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过万元且且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，再由两种机床的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】证明：，是半径，
是圆的切线，
是圆的切线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
≌；
解：，理由如下：
延长至使得，连接，，如图所示，

，，
，
，，
≌，
，，
由可得，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据，是半径，可得是圆的切线，根据是圆的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，得出，即可证明≌；
延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明≌，结合已知条件证明≌，得出，即可得出结论．
本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
 

22.【答案】解：在直线中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的解析式为，
   把点，点代入可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；

由题意，，
，
当四边形是平行四边形时，，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得：，
直线的解析式为，
又过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
，
，
解得不合题意，舍去，；
当为时，四边形是平行四边形；

存在，理由如下：
，
点为线段的中点，
点的横坐标为，
点在直线上，
，
把代入中，可得，
解得不合题意，舍去，．
存在这样的值，使，此时的值为． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．