2023年浙江省台州市路桥区东方理想学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省台州市路桥区东方理想学校中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，台州市域铁路线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路线全长约公里，总投资约亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道其中数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  九年级某班位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数

6.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于(    )

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

7.  如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度与时间注水时间的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺尺寸，则这根圆柱形木材的直径是(    )

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

10.  如图是一个由五张纸片拼成的边长为的正方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中与是两张全等的纸片，与是两张全等的纸片，中间是一张四边形纸片已知，，记纸片的面积为，四边形纸片的面积为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  一个不透明布袋中有个红球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为        ．

13.  如图，五边形是正五边形若，则 ______

14.  如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，，若，则的取值范围是______ ．

15.  如图，中，，，点在上且，点在上，连接，若与相似，则 ______ ．

16.  如图，弧所对圆心角，半径为，点是中点，点弧上一点，绕点逆时针旋转得到，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
求证；
若，，，求的长．

20.  本小题分
如图是某公园的一个上肢牵引器，图是其静止状态下的简化示意图、分别在同一水平线上，立柱与水平地面垂直，挑杆，手拉链，且始终与地面垂直．经查询，挑杆，当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图所示的状态，此时，求点上升的高度．
结果精确到，参考数据：，，，，，

 

21.  本小题分
如图，是的直径，点、是上的两点，连接、、、，过点作射线交的延长线于点，使．
求证：是的切线；
若，求阴影部分的面积．

22.  本小题分
针对新型冠状病毒事件，九班全体学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对本班成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布条形统计图未完成除了到之间学生成绩尚未统计，还有名学生成绩如下：，，，，，班长根据情况画出的扇形统计图如下：

九班有多少名学生？
求出、的值？并请补全条形统计图．
全校共有名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
九班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率．

 

23.  本小题分
【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米下面的表中记录了与的五组数据：

在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；

若水柱最高点距离湖面的高度为米，则        ，并求与函数表达式；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．

24.  本小题分
如图，为的内接三角形，，连接．
求证：；
延长交于，过点作于点，交于点，求证：；
在的条件下，连接并延长交于，连接，若，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上边看，底层是两个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意．
故选：．
分别计算下列各式即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，二次根式的加减法，解二次根式的加减法时，注意先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：这组数据中成绩为、的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数，即众数，
第、个数据分别为、，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据，，在中，由勾股定理得，从而求出的长即可．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转角的定义是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
【解答】
解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零，即不会随时间的增加而增大，故选项A、、不合题意；
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意判断出大烧杯的液面高度随时间的变化情况即可．
本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长，交于点，连接，

由题意知过点，且，
为半径，
尺寸，
设半径，
寸，
寸，
在中，根据勾股定理可得：
．
解得：，
木材直径为寸；
故选：．
延长，交于点，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，作于，延长交于，过点作于，连接，

≌，≌，
，，，，
，，
即：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形，且边长为，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
又，
由勾股定理得：，
即：，
，
，，
，，
，
∽，
，
即：，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
，，
∽，
，
即：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
∽，
，
，
，
点为的中点，
，
，
为的中位线，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
过点作于，作于，延长交于，过点作于，连接，先证四边形为平行四边形，四边形为矩形，在中根据，可求出，，证∽得，则，再证∽得，进而得，然后证∽得，据此可证为的中位线，从而得，在中由勾股定理得，则，由此可得，则，据此可分别求出，，继而可得出的值．
此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的中位线定理，三角形的面积计算，勾股定理等知识点，解答此题的关键熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质找出线段之间的关系，并利用勾股定理进行计算．
 

11.【答案】 

【解析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：，
故答案为：．
本题考查了运用公式法分解因式，熟记公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率．
故答案为：．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，
五边形是正五边形，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
过点作，根据正五边形的性质可得的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得的度数．
考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添加辅助线．
 

14.【答案】或 

【解析】解：把、两点的坐标分别代入，
得，
，解得，
根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方．
故答案为：或．
根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当∽时，
则，
，
；
当∽时，
则，
．
根据题意，要使与相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当∽时，则；当∽时，则，即可解答．
本题考查相似三角形的性质应用．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序．分类讨论时，要注意对应关系的变化是解题的关键．
 

16.【答案】． 

【解析】解：如图，连，以为边向下作正方形，连，．

，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，连接，以为边向下作正方形，连接，利用勾股定理求出，再证明≌，推出，由，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义进行化简即可得到结果．
本题主要考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解答佌题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式得：．
解不等式得：．
原不等式组的解为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
；
解：由得：，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设与相交于点，如图：

，，
，
，
，
在中，，
过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
，
点上升的高度为． 

【解析】先在图中，设与相交于点利用等腰三角形的三线合一性质求出，然后在中，求出，再在图中，过点作，垂足为，先求出，然后在中，求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，过作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
阴影部分的面积． 

【解析】连接，过作于，得到，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，推出，得到是的切线；
根据等腰三角形的性质得到，得到，推出是等边三角形，根据扇形的面积公式得到，求得，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：调查的总人数为：人；

，，
补全条形统计图如下：

类所占百分比，
人，
即估计该校成绩范围内的学生有人；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果数为，
恰好选中甲，乙两位同学的概率为． 

【解析】由组的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；
由题意可直接得出的值，再由四组的频数之和等于总人数可得的值；
由全校共有学生名乘以所占百分比即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了频数分布表、频数分布直方图以及扇形统计图．
 

23.【答案】 

【解析】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图所示：

由图可得函数顶点为，
水柱最高点距离湖面的高度为米，

根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到约米才能符合要求．
建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
设函数表达式为，先由图得到函数顶点为，再将代入计算即可；
根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
；
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
；
解：如图，连接，过点作于，延长交于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算，证明结论；
连接，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
连接，过点作于，延长交于，证明≌，得到，根据三角形中位线定理分别求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、熟记圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．