2022-2023学年安徽省六安市金安区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省六安市金安区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果最简二次根式与能够合并，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，则，的关系是(    )

A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 互为有理化因式

4.  某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6.  已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若的两边长，满足，则第三边的长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  中，，，高，则的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  已知在中，，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为，则这个多边形的对角线共有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  已知，都是实数，且，则______．

12.  已知关于的方程的两个实数根的平方和为，那么的值是______ ．

13.  如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是______．

14.  已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，则在坐标轴上到点的距离是的点的坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

15.  若，，求下列代数式的值．
；
．

四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
解一元二次方程：
；
．

18.  本小题分
如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积．

19.  本小题分
如图所示，已知于，于，，，求的大小．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．

21.  本小题分
如图，在中，于点，，，．
求的长；
求的面积；
判断的形状．

22.  本小题分
某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量双与降低价格元之间存在如图所示的函数关系．
求出与的函数关系式；
公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．

23.  本小题分
如图，在中，，，若动点从点出发，以个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．

若点在上，且满足，求出此时的值；
若点恰好在的平分线上，求的值；
在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
最简二次根式与能够合并，
．
故选：．
根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
故选：．
先化简的值，再与的值比较即可求出答案．
本题考查分母有理化，解题的关键是化简的值，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：且，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
第三边的长或，
故选：．
由，可得，的值，再根据勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理以及非负数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：此题应分两种情况说明：

当为锐角三角形时，如图，在中，
，
在中，


的周长为：；

当为钝角三角形时，如图，
在中，，
在中，，
．
的周长为：
当为锐角三角形时，的周长为；当为钝角三角形时，的周长为．
故选：．
本题应分两种情况进行讨论：
当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长，从而可将的周长求出；
当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长，从而可将的周长求出．
此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
 

9.【答案】 

【解析】解；如图，过作，垂足为．
设，则，
在和中，，

，，
．
．

故选：．
利用勾股定理求出一边上的高，再计算出面积．
本题考查了勾股定理的性质，三角形面积的计算，构造直角三角形求出高是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，则正多边形的边数是．
这个多边形的对角线共有条．
故选：．
边形的内角和是，即内角和一定是度的整数倍，即可求解，据此可以求出多边形的边数，在根据多边形的对角线总条数公式计算即可．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；要注意每一个内角都应当大于而小于度．同时要牢记多边形对角线总条数公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
，
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出的值是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程有两实根，；
即，
解得或．
设原方程的两根为、，则，．



．
即．
解得或
，
舍去
．
故答案为：．
因为方程有两实根，所以；然后把两实根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式．根据这两种情况确定的取值范围．
本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，同时考查代数式变形与不等式的解法．
 

13.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的内角和，属于基础题．
一个正方形被截掉一个角后，可能为五边形、四边形或三角形，即可求解．
【解答】
解：一个正方形被截掉一个角后，可能为五边形、四边形或三角形，
这个多边形的内角和是或或．
故答案为：或或．  

14.【答案】或或或 

【解析】解：点在轴上时，，
点的横坐标为：或，
此时，点的坐标为或，
点在轴上时，，
点的纵坐标为或，
此时点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或
故答案为：或或或
分点在轴上和在轴上两种情况利用勾股定理列式计算，再求解即可．
本题考查了点的坐标，主要利用了勾股定理，难点在于分情况讨论．
 

15.【答案】解：，，
，
，



；




． 

【解析】根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算；
根据完全平方公式计算．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
 

17.【答案】解：因式分解得，，
即或，
解得：，，
原方程解为：，；
原方程变形可得，，
配方可得，，
即，
两边开方得，，
方程的解为：，． 

【解析】直接用因式分解法即可得到答案；
根据完全平方公式展开，利用配方法求解即可得到答案．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
 

18.【答案】解：连接，如图所示：

，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
故四边形的面积是． 

【解析】连接，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

19.【答案】解：于，于，
，．
，，
．
在中，，，
，
．
在中，，，
，
． 

【解析】利用垂线的定义，可得出，，利用邻补角互补，可求出的度数，在中，可求出的度数，结合，可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的大小．
本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程的判别式，
，
，
化简可得，
则该三角形的形状为直角三角形． 

【解析】根据方程的解把代入方程得到，即，于是由等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根据根的判别式得出，，的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断的形状．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
由勾股定理得：；

在中，由勾股定理得：，
，
，
的面积；

，，，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据勾股定理求出即可；
根据勾股定理求出，求出，再求出面积即可；
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积导尿管知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要求优惠力度最大，
，
．
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
公司每天能获得元的利润，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
每双运动鞋的利润不低于成本价的，
，
，
符合题意，
公司每天能获得元的利润． 

【解析】根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出与的函数关系式；
利用总利润每双的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要求优惠力度最大，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论；
公司每天能获得元的利润，利用总利润每双的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由每双运动鞋的利润不低于成本价的，可得出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，进而可得出公司每天能获得元的利润．
本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：中，，，，
由勾股定理得，
连接，如图所示：

当时，，，
在中，，
即，
解得：，
当时，；
如图，过作，

又点恰好在的角平分线上，且，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
；
当点沿折线运动到点时，点也在的角平分线上，
此时，；
综上，若点恰好在的角平分线上，的值为或；
如图，点在上，当时，为等腰三角形，

则；
如图，当时，为等腰三角形，

，
；
如图，若点在上，当时，为等腰三角形；

作于，则根据面积法求得：，
在中，由勾股定理得，，
，
，
此时；
如图，当时，为等腰三角形，

作于，则为的中点，
为的中位线，
，
，
；
综上所述，为或或或时，为等腰三角形． 

【解析】设存在点，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到的值；
过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；
分类讨论：当时，为等腰三角形，若点在上，根据的长即可得到的值，若点在上，根据移动的路程易得的值；当时，为等腰三角形，作于，根据等腰三角形的性质得，则可判断为的中位线，则，易得的值；当时，为等腰三角形，易得的值．
本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．