2022-2023学年广东省茂名市茂南区部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名市茂南区部分学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列式子中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各组数中，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  已知点与点关于原点对称，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小英得分不低于分．设她答对了道题，则根据题意可列出不等式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在直角坐标系中，点在第四象限中，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平分，，，于点，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法：是的平分线；；点在的垂直平分线上；若，则其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  等腰三角形的两边分别等于，，则它的周长为______ ．

12.  若，，则 ______ ．

13.  不等式组的解集是，那么的取值范围是_____________．

14.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

15.  如图，在直角三角形中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置得到点，将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置得到点，，按此规律继续旋转，直到得到点为止在直线上则：______．

 

三、计算题（本大题共2小题，共17.0分）

16.  因式分解
                  
．

17.  已知方程组的解中，为非正数，为负数．
求的取值范围；
化简．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式：；
解不等式组．

19.  本小题分
如图，，的垂直平分线交于，交于．
若，求的度数；
若，的周长为，求的周长．

20.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出向左平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴的对称图形；
的面积为______ ．

21.  本小题分
如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．

22.  本小题分
某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．
求每台型电脑和型电脑的销售利润；
该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元问该商店购进型型电脑各多少台才能使销售利润最大？

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．
如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
求点的坐标及的值；
直线、直线与轴所围成的的面积等于多少？
在的条件下直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如存在，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，故A错误，符合题意；
B.，
，故B正确，不符合题意；
C.，
，故C正确，不符合题意；
D.，
，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边同乘以一个负数不等号方向要发生改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，符合题意；
D、，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：已知点与点关于原点对称，则点坐标为．
故选：．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设她答对了道题，根据题意，得
．
故选：．
小英答对题的得分：；小英答错或不答题的得分：不等关系：小英得分不低于分．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，的取值范围是．
故选：．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，
，
即的度数为．
故选：．
根据旋转的性质得，然后计算的值即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
角平分线上的点到角两边的距离相等，
，
，
，
，
在中，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，
，
故选：．
作于，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得．
此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，是的平分线，
故说法正确；
，，
，
，
，
故说法正确；
过点作于点，

，
为等腰三角形，
为的中线，
点在的垂直平分线上，
故说法正确；
是的平分线，，
，
，
≌，
，
，，，
≌，
，
，
：：，
．
若，则．
故说法正确．
正确的说法有个，
故选：．
由题意得是的平分线，可判断说法；由已知条件可得，则，根据可判断说法；过点作于点，易知为等腰三角形，则为的中线，即点在的垂直平分线上，可判断说法；证明≌，≌，可得，即可判断说法．
本题考查作图基本作图，尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：有两种情况：当腰是时，三边是，，，它的周长是；
当腰是时，三边是，，，
，
此时不能组成三角形．
故答案为：．
有两种情况：当腰是时，求出三角形的周长；当腰是时，根据三角形的三边关系定理不能组成三角形．
本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
将所求式子提取分解因式后，把与的值代入计算，即可得到所求式子的值．
此题考查了因式分解的应用，将所求式子分解因式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式组解集，求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集．
【解答】

解：不等式组的解集是，得．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
观察图象知：关于的不等式的解集为，
故答案为：．
观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．
 

15.【答案】 

【解析】解：中，，，，，
将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时；
将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；
将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；
又，
．
故答案为：．
分析：
通过观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，三次一循环是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解可得；
先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

17.【答案】解：方程组解得：，
为非正数，为负数；
，
解得：；
，即，，
原式． 

【解析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据为非正数，为负数列出不等式组，求出不等式组的解集即可确定出的范围；
由的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
 

18.【答案】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
将系数化为得：；
解不等式，得
解不等式，得，
故不等式组的解集为． 

【解析】根据移项，合并同类项，系数化为即可得到答案；
分别解出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
本题主要考查解一元一次不等式以及一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：
，
垂直平分
，
，
；
是的垂直平分线
，，
，
的周长，
的周长． 

【解析】先根据等腰三角形的性质求出，再由垂直平分可知，所以，再根据即可得出结论；
由是的垂直平分线可知，，，所以，再由的周长，可求出的周长．
本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图所示；即为所求；

如图所示，即为所求；
的面积为．
故答案为：．
依据平移的性质，即可得到各顶点即可；
依据轴对称的性质，即可得到各顶点即可；
利用割补法求解可得．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的概念，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
由可知，，
，
，即的度数为． 

【解析】由证明≌，即可解决问题；
由等腰直角三角形的性质得，再求出，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得．
答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，，
即；
据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元列出方程组，然后求解即可；
根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
根据型电脑的进货量不超过型电脑的倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
 

23.【答案】解：在中，令得，
，
把代入得：
，
解得，
，
的坐标是，的值为；
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，
直线、直线与轴所围成的的面积等于；
在轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下：
在中，令得，
，
，
，
设，则，，
若，为腰，则，
解得或，
或；
若，为腰，则，
解得或与重合，舍去，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】在中，可得，把代入得；
在中，得，在中得，即得，故直线、直线与轴所围成的的面积等于；
在中可得，，设，则，，分两种情况：若，为腰，则，解得或；若，为腰，则，解得．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度，列方程解决问题．