河北省承德市2023届高三数学下学期4月高考模拟试题（Word版附解析）

2023年普通高等学校招生全国统一模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题

卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 已知复数，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法求出，再由共轭复数的定义求得.

【详解】，则.

故选：D

2. 已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件列举法表示出集合B，由交集的定义即可求出.

【详解】集合，，

.

故选：A

3. 如图是某学生在劳动实习课上制作的一个模型，该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分，圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合，圆柱的底面半径和高均为3，挖去的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，则该模型的体积为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】应用圆台、圆柱体积公式求模型的体积即可.

【详解】由题设，圆台上底面积，下底面积，

圆台体积为，

而圆柱体积为，

所以该模型的体积为.

故选：C

4. 已知，若为奇函数，则实数（   ）

A. 0 B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据为奇函数，得出，求出实数，再验证为奇函数.

【详解】由为奇函数，定义域为R，得出过点，即，

即，解得.

则，，设，

因为，

所以是奇函数，即是奇函数.

故选：C.

5. 德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德，他的一个重要数学发明是二进位制，他本人也确认，中国人在三千多年前的《易经》64卦里就藏匿了这个奥妙.莱布尼茨用数0表示空位，数1表示实位，即满2进1.这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如：自然数0为二进位制中的0，自然数1为二进位制中的1，自然数2为二进位制中的10，自然数3为二进位制中的11，自然数4为二进位制中的100，自然数5为二进位制中的101，….由以上二进位制的规则，可知二进位制中的10101表示的自然数是（   ）

A. 11 B. 21 C. 25 D. 42

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设描述，将二进制数转化为十进制自然数即可.

【详解】由题设，10101表示的自然数为.

故选：B

6. 已知，则的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意转化为，令，求得，得到单调递增，得到，即，得到，令，求得，结合函数的单调性和最大值，即可求解.

【详解】由，可得，

令，可得，所以单调递增，

因为，可得，即，

则，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，可得，

所以的最大值为.

故选：B.

7. 已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围.

【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上.

所以必须满足，得，，，，

又，.

故选：B

8. 已知，，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，利用单调性得，进而根据指对数的运算性质即可比较.

【详解】令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，取极小值也是最小值，故，因此，

故，

，因此，

又，所以，进而，故，

因此，

故选：D

【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：

利用指对幂函数的单调性比较大小，

构造函数，利用导数求解单调性比较大小，

利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某水果店为了解本店香蕉的日销售情况,依据过去天香蕉的日销售量(单位:)绘制了如下所示的频率分布直方图,依据该直方图,下列选项正确的有（   ）

A. 直方图中的

B. 过去100天香蕉的日销售量平均值的估计值为

C. 过去100天香蕉的日销售量众数的估计值为

D. 过去100天香蕉的日销售量中位数的估计值为

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A,根据频率和为即可求解;对于BCD,根据频率分布直方图求解平均数、众数和中位数的方法求解即可.

【详解】对于A,由,得,故A正确;

对于B,平均值的估计值为,故B正确;

对于C,根据频率分布直方图,众数的估计值为,故C错误;

对于D,因为,

所以中位数在第组,设中位数为,

则,

解得,故D错误.

故选:AB.

10. 已知，，，下列选项正确的有（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.

【详解】由于且，所以，

又，，

故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C, ，故C错误，

对于D，由B可知，所以，故D正确，

故选：BD

11. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，C的准线与x轴的交点为，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点E，直线l的倾斜角，且点A在第一象限，下列选项正确的有（   ）

A. 为定值 B. 为定值

C. 若F为AE的中点，则 D. 若B为AE的中点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题设可得、、，令且，联立抛物线，应用韦达定理求得，，，，再利用向量数量积的坐标表示判断A、B；由中点公式及韦达定理求即可判断C、D.

【详解】由题设，令且，，则，，

联立直线与抛物线得：，，

所以，，则，，

由，则，A正确；

由，则，B错误；

若F为AE的中点，则，可得，故，

又，则，所以，C正确；

若为AE的中点，则，可得，

所以，可得，则，

此时，D正确.

故选：ACD

12. 如图，正六棱柱的各棱长均为1，下列选项正确的有（   ）

A. 过A，，三点的平面截该六棱柱的截面面积为

B. 过A，，三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分

C. 以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为

D. 以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：根据平行关系分析交线，进而运算求解；对于B：利用割补法求体积，分析运算；对于C、D：根据球的半径分析交线，运算求解.

【详解】对于A：过点A作//，设，

连接，设，

则过A，，三点的平面截该六棱柱的截面即为，

可得，

因为，且//，则，

可得，

因为平面，平面，

所以，

，平面，可得平面，

平面，则，

由//，则，

连接，则，

故截面面积，故A正确；

对于B：连接CE，

 因为平面，平面，

所以，

，，平面，可得平面，

则四棱锥的高为，则其体积，

四棱柱的体积，

三棱柱的体积，

故平面下半部分的体积，

正六棱柱的体积，

显然，故B错误；

对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面、侧面和底面相交，

因为，在侧面、侧面的交线为个圆，在底面的交线为个圆，半径均为1，

故交线的长为，故C正确；

对于D：因为球的半径为2，显然球不与侧面、侧面相交，

由选项A可知：平面，且，

则球与侧面、侧面分别交于点、，

连接，则，

因为平面，平面，

所以，

，平面，可得平面，

且，则球与侧面的交线为个圆，且半径为1，

同理可得：球与侧面的交线为个圆，且半径为1，

又因为平面，且，

则球与底面的交线为个圆，且半径为，

又因为，则球与底面的交点为D，

所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】方法定睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 平面向量，，若，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】由向量平行的坐标表示列方程求得，再应用向量数量积和模长的坐标运算求结果.

【详解】由题设，可得，则，，

所以.

故答案为：

14. 已知是等比数列的前n项和，若，，则_________.

【答案】64

【解析】

【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，

则，，故，

又，所以，

所以，

故答案为：64.

15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，点E在BC边上，且，则_________；若，则_________.

【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】已知，，在直角三角形中把角的正弦值化为边的比，利用三角形面积公式化简，可求得边；，由余弦定理和三角形面积公式，结合辅助角公式，求得，可求的值.

【详解】如图所示，记边为，

由，中，；中，，

又，得，

则有，即，解得，即；

，，

，由余弦定理，，

即，

可得，即，

由，有，

.

故答案为：1；

16. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数.

【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；

第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：

男男男：种；

女男男：种；

男女男：种；

女女男：种；

所以，第三次取出为男生的方法数：

，

综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，

所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，

则，即，可得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，函数.

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）若在区间上单调，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）令求的范围，即可得增区间；

（2）由题意在上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围.

小问1详解】

由题设，令，

所以，故的单调递增区间为.

小问2详解】

由，则，

所以在上单调，又，

若，，则，，

所以，，故时，满足题设；

若，，则，，

所以，，此时没有满足题设的k值；

综上，.

18. 某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度（）与灭死率的数据，得下表：

（1）以为解释变量，为响应变量，在和中选一个作为灭死率关于浓度（）的经验回归方程，不用说明理由；

（2）（i）根据（1）的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；

（ii）依据（i）中所求经验回归方程，要使灭死率不低于，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少？

参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.

【答案】（1）选   

（2）（i），（ii）

【解析】

【分析】（1）根据表格数据的特征选择回归模型；

（2）（i）令，将所给数据处理，再求出，，，，即可求出，，从而得到回归方程；

（ii）令，根据对数函数的性质解出不等式，即可得解.

【小问1详解】

根据表格数据可知解析变量呈现指数增长，而响应变量增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，

故选.

【小问2详解】

（i）令，则，

所以可得如下数据

则，，

，

，

所以，，

所以，即；

（ii）依题意，即，即，

所以，即要使灭死率不低于，则该灭草剂的浓度至少要达到.

19. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别为棱PB和PC上的点，且，.

（1）证明：；

（2）若，求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的性质有，进而可得面，再由线面垂直的性质和判定依次证、面、，最后由线面垂直判定得面，即可证结论；

（2）构建空间直角坐标系，根据已知求出坐标，进而求出面、面的法向量，利用向量夹角的坐标表示求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.

【小问1详解】

由平面，平面，则，

由底面为正方形，则，

又，面，所以面，

而面，则，又，，面，

所以面，面，则，

由，，面，则面，

由面，故.

【小问2详解】

构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，

由平面，平面，则，故，

由，则，可得，

所以，则，即，而，

若，则，故，

所以，则，则，故，而，

若是面的一个法向量，则，令，则，

由（1）知：是面的一个法向量，

所以，故面AEF与面AEC夹角余弦值为.

20. 已知数列满足，

（1）证明：数列为等差数列；

（2）若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）2166

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的定义证明；

（2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和.

【小问1详解】

数列满足，

设，则，

有，，

所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列.

【小问2详解】

由（1）可知，，

设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，，

设数列的前n项和为，数列的前n项和为，

数列的前40项和为，

若，即，得，

，有，

将数列前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为：

.

21. 已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.

（1）若，，求k的值；

（2）若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据中点坐标，利用点差法求中点弦的斜率；

（2）令直线为，讨论、，应用点差法得，写出中垂线方程，根据在上求得，进而得到联立椭圆方程，应用弦长公式及已知列方程求得，即可得直线方程.

【小问1详解】

由题设，作差可得，

又，故，

所以.

【小问2详解】

由题意，直线斜率一定存在，令直线为，

若时且，，此时中垂线与y轴重合，

与题设中，垂直平分线与y轴交于矛盾，不合要求；

若，由（1）知：，则，

则中垂线为，即，又在该直线上，

所以，得或，当时不满足要求，故，

故，即，联立椭圆得：，

整理得，

所以，，则，而，

由，则，解得，

所以.

综上，直线l的方程为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）先求定义域，求导后，对进行分类讨论，即可得到函数的单调性；

（2）由题意，可取，得，对原不等式进行放缩可得，构造函数，求导得，再构造，求导得，取特殊值可得的最小值为正数，所以可知在处取得极小值，可得，所以恒成立，故实数的取值范围是.

【小问1详解】

的定义域为，

，

当时，，在上单调递减；

当时，由，解得：，由，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增.

【小问2详解】

由，得，

取时，得，所以，

下证：，即证：，

令，则，

构造，则，

易知在上是单调递增函数，

又，，

在上存在唯一零点，设该零点为，

且满足，，

当时，，当时，，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

 ，

当时，，当时，，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，

在上恒成立，即，

在上恒成立，

故实数的取值范围是.

【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.