专题 05 一元二次方程-2023年中考数学分项汇编（全国通用）

这是一份专题 05 一元二次方程-2023年中考数学分项汇编（全国通用），共33页。试卷主要包含了关于的一元二次方程的根的情况是，一元二次方程根的情况为，对于实数，定义运算“”为，例如，若，是方程的两个根，则等内容，欢迎下载使用。
专题 05 一元二次方程-2023年中考数学分项汇编（全国通用）
一．选择题（共18小题）
1．（2023•河南）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2023•菏泽）一元二次方程的两根为，，则的值为　　
A． B． C．3 D．
3．（2023•黑龙江）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　

A． B． C．或 D．
4．（2023•聊城）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
5．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
6．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
7．（2023•广元）关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2023•滨州）一元二次方程根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
9．（2023•内江）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．（2023•天津）若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．
11．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
12．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
13．（2023•乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
15．已知、、为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
16．关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
17．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为　　
A． B． C． D．
18．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求值为何　　
A． B． C． D．
二．填空题（共25小题）
19．（2023•常德）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
20．（2023•张家界）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
21．（2023•扬州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　．
22．（2023•随州）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 　　．
23．（2023•岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则实数　　．
24．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　　．
25．（2023•上海）已知关于的方程，则　　．
26．（2023•宜宾）若关于的方程两根的倒数和为1，则的值为 　　．
27．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 　　．
28．（2023•连云港）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
29．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 　　．
30．（2023•岳阳）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是 　　．
31．（2023•内江）已知、是方程的两根，则　　．
32．（2023•枣庄）若是关于的方程的解，则的值为 　　．
33．（2023•金昌）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则　　（写出一个满足条件的值）．
34．（2023•遂宁）若、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　　．
35．（2023•连云港）若、为实数），则的最小值为 　　．
36．已知方程的根为，，则的值为 　　．
37．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　．
38．（2023•绥化）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 　　．
39．（2023•株洲）已知实数、满足：．
①若，则　　；
②若、、为正整数，则符合条件的有序实数对，有 　　个．
40．（2023•宜昌）已知，是方程的两根，则代数式的值为 　　．
41．（2023•湖北）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　．
42．（2023•怀化）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 　　，另一个根为 　　．
43．（2023•达州）已知，是方程的两个实数根，且，则的值 　　．
三．解答题（共9小题）
44．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
45．（2023•湖北）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值．
46．（2023•荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
47．（2015•广东）解方程：．
48．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
49．（2023•杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
50．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数、、、有，，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：，，．
（1）求，，的值；
（2）已知关于的方程，，有两个实数根，求的取值范围．
51．（2023•南充）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．



参考答案
一．选择题（共18小题）
1．（2023•河南）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当△时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
2．（2023•菏泽）一元二次方程的两根为，，则的值为　　
A． B． C．3 D．
【分析】直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
；．



．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
3．（2023•黑龙江）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是　　

A． B． C．或 D．
【分析】设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
小路的宽是．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023•聊城）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：一元二次方程有实数解，
△，且，
解得：且，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
5．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程　　
A． B．
C． D．
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，
根据题意得，，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
6．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据2020年的人均可支配收入年平均增长率）年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023•广元）关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先确定、、的值，在计算即可．
【解答】解：，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
8．（2023•滨州）一元二次方程根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：由题意得，△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若△，则方程有两个不相等的实数根，若△，则方程有两个相等的实数根，若△，则方程没有实数根．
9．（2023•内江）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式△，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，
，
，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
10．（2023•天津）若，是方程的两个根，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：，是方程的两个根，
，，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设，是一元二次方程的两个实数根，则，．
11．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入年间每年人均可支配收入每年人均可支配收入的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
13．（2023•乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出，再根据，求得，，进一步得出求得答案即可．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．已知、、为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到，则判断△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：点在第四象限，
，，
，
方程的判别式△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
16．关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【解答】解：△

．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．
17．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为　　
A． B． C． D．
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为、，
由题意，得．
菱形的边长




．
故选：．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
18．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求值为何　　
A． B． C． D．
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
二．填空题（共25小题）
19．（2023•常德）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式△，继而可求得的范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△．
20．（2023•张家界）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
21．（2023•扬州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出是解题的关键．
22．（2023•随州）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 　2　．
【分析】直接利用根于系数的关系，，再代入计算即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，，
．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
23．（2023•岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则实数　3　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，由根与系数的关系，可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，
△，
．
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），，
实数的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
24．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是　　．
【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，
△，即，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
25．（2023•上海）已知关于的方程，则　18　．
【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边平方得：，
解得：，
经检验是原方程的解．
故答案为：18．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
26．（2023•宜宾）若关于的方程两根的倒数和为1，则的值为 　2　．
【分析】设关于的方程两根为，，可得，，根据两根的倒数和为1，有，即，得，再检验可得答案．
【解答】解：设关于的方程两根为，，
，，
两根的倒数和为1，
，
，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
当时，原方程为，
△，
符合题意，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
27．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 　　．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．（2023•连云港）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　．
【分析】根据根的判别式得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
29．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 　　．
【分析】根据2022年底绿化面积年平均增长率）年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2023•岳阳）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是 　5　．
【分析】设方程的另一个解为，则利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个解为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
31．（2023•内江）已知、是方程的两根，则　　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：是方程的根，
，
，
，是方程的两根，
，




．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解．
32．（2023•枣庄）若是关于的方程的解，则的值为 　2019　．
【分析】把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程得：，即，
则原式．
故答案为：2019．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
33．（2023•金昌）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则　0（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出的取值范围，任取其内的一个数即可．
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
34．（2023•遂宁）若、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　2　．
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
35．（2023•连云港）若、为实数），则的最小值为 　　．
【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【解答】解：







，
，均为实数，
，，
原式，
即原式的的最小值为：，
解法二：由题意，
为实数，
，
即，
，
的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方常数”的形式是解题的关键．
36．已知方程的根为，，则的值为 　6　．
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：方程的根为，，
，，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
37．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　．
【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
38．（2023•绥化）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 　　．
【分析】根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：一元二次方程整理得，
．
根据题意得，，
所以原式．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
39．（2023•株洲）已知实数、满足：．
①若，则　18　；
②若、、为正整数，则符合条件的有序实数对，有 　　个．
【分析】①把，代入求值即可；
②由题意知：，均为整数，，，，，则，再分三种情况讨论即可．
【解答】解：①把，时，，
解得：；
故答案为：18．
②当，，为正整数时，
，均为整数，，，，，
而，
或或，
或或，
当时，时，，；时，，，
故，为，，共2个；
当时，时，，；时，，，时，，，
故，为，，，共3个；
当时，时，，；时，，，
故，为，，共2个；
综上所述：共有个．
故答案为：7．
【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
40．（2023•宜昌）已知，是方程的两根，则代数式的值为 　1　．
【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
【解答】解：，是方程的两根，
，，
．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
41．（2023•湖北）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　．
【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的值，再根据根的判别式求得的取值范围．最后综合情况，求得的值．
【解答】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
，
解得，
又方程有两个实数根，
△，
解得，
综合以上可知实数取值范围是．
故答案为：．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
42．（2023•怀化）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 　　，另一个根为 　　．
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再结合两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将代入原方程可得，
解得：，
方程的两根之积为，
方程的另一个根为．
故答案为：，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
43．（2023•达州）已知，是方程的两个实数根，且，则的值 　7　．
【分析】先求出，的值，然后把的左边展开，将其代入该关于的方程，通过解方程来求的值．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
解得．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，，也考查了代数式的变形能力．
三．解答题（共9小题）
44．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
【分析】设年买书资金的平均增长率为，利用2022年用于购买图书的费用年用于购买图书的费用年买书资金的平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设年买书资金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：年买书资金的平均增长率为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
45．（2023•湖北）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值．
【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明△即可；
（2）利用根与系数的关系得，，再将变形可得，将，的代入可得关于的一元二次方程，求解即可．
【解答】（1）证明：△

，
无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：该方程的两个实数根为，，
，，



，
，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
46．（2023•荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得的取值范围；
（2）将代入方程，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，且，
解得：且；

（2）当时，
原方程为，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：
解得：，．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
47．（2015•广东）解方程：．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为，再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：，
，
或，
，．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
48．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是万人，
由题意可得：，
解得：，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
49．（2023•杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知、的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解答】解：使这个方程有两个不相等的实数根，
，即，
②③均可，
选②解方程，则这个方程为：，
，
，；
选③解方程，则这个方程为：，
，．
【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
50．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数、、、有，，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：，，．
（1）求，，的值；
（2）已知关于的方程，，有两个实数根，求的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着根据题意得到△且，解不等式即可．
【解答】解：（1），，；
（2）根据题意得，
整理得，
关于的方程，，有两个实数根，
△且，
解得且．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键．
51．（2023•南充）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．
【分析】（1）由判别式△，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知，，由进行变形直接代入得到，求解可得．
【解答】（1）证明：△


，
方程总有实数根；

（2）解：由题意知，，，
，
，整理得，
解得或．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．