高考数学二轮专题学与练 01 集合与简单逻辑（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 01 集合与简单逻辑（高考押题）（含解析），共8页。试卷主要包含了给出下列命题，下列说法错误的是，有如下四个命题，下列命题正确的个数是等内容，欢迎下载使用。

高考押题专练
1．已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为a>2，则a2>2a成立，反之不成立，所以“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件．
2．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于(　　)
A．{1＋i,1－i} B．{－i}
C．{1＋2i,1－2i} D．{1－i}
【答案】A
【解析】A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故选A.
3．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝(　　)
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
【答案】A
【解析】由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
4．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；
②中不等式可变为log2x＋≥2，得x>1；
③中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；
④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
5．设集合P＝，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值组成的集合是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由2 x2＋2x＝－x－6，得2x2＋2x＝2x＋6，
∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0，
∴集合P＝{2，－3}．
若m＝0，则T＝∅⊆P.
若m≠0，则T＝，
由T⊆P，得－＝2或－＝－3，
∴m＝－或m＝.故选C.
6．若“0 A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【答案】C
【解析】(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，
由集合的包含关系知，⇒a∈[－1,0]．
7．下列说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则┐p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必有一真一假
【答案】D
【解析】易知A，B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y知，C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
8．有如下四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，<；
p2：∃x0∈，x＝；
p3：∀x∈R,2x>x2；
p4：∀x∈(1，＋∞)，x－1>logx.
其中真命题是(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】D
【解析】根据指数函数的性质，
∀x∈(0，＋∞)，x>x，
故命题p1是假命题；
令f(x)＝x－x，
则f＝－>0，
f＝－<0，
所以ff<0，
所以命题p2是真命题；
当x＝2时，2x＝22＝4，x2＝22＝4，
故2x>x2不成立，命题p3是假命题；
当x>1时，x－1>1，logx<0，
故x－1>logx恒成立，
命题p4是真命题，故选D.
9．下列命题正确的个数是(　　)
①命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】易知①正确；因为f(x)＝cos 2ax，所以＝π，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤(x＋2)min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b<0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0且a与b不反向”，故④不正确．
13．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；
③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①中不等式可表示为(x－1)2＋2＞0，恒成立；
②中不等式可变为log2x＋≥2，得x＞1；
③中由a＞b＞0，得＜，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；
④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
14．设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝(　　)
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
【答案】A
【解析】由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]或(2，＋∞)．
15．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】D　
【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.
16．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，若P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，则P－Q＝(　　)
A．{x|0 C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
【答案】B　
【解析】由log2x<1，得0 所以P＝{x|0 由|x－2|<1，得1 所以Q＝{x|1 由题意，得P－Q＝{x|0 17．命题p：“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m＋5＜0”，命题q：“关于x的方程2x－m＝0有正实数解”，若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1,10] B．(－∞，－2)∪(1,10]
C．[－2,10] D．(－∞，－2]∪(0,10]
【答案】B　
【解析】若命题p：“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m＋5＜0”为真命题，则Δ＝m2－8m－20＞0，∴m＜－2或m＞10；若命题q为真命题，则关于x的方程m＝2x有正实数解，因为当x＞0时，2x＞1，所以m＞1.因为“p或q”为真，“p且q”为假，故p真q假或p假q真，所以或
所以m＜－2或1＜m≤10.
18．下列选项中，说法正确的是(　　)
A．若a＞b＞0，则ln a＜ln b
B．向量a＝(1，m)与b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1
C．命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”
D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
【答案】D　
【解析】因为函数y＝ln x(x＞0)是增函数，所以若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A错；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错；命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n0∈N*，3n0≤(n0＋2)·2n0－1”，故C错；原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”，是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)＞0，故D正确．
19．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
【解析】由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－1＝0，即a＝1时，A＝，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a－1)＝0，解得a＝－.综上可知，实数a的值为1或－.
【答案】1或－
20．已知集合A＝，B＝{x|－1 【解析】A＝＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
【答案】(2，＋∞)
21．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”；③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x＜2”；④函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上有且仅有一个零点．
【解析】①若c＝0，则不论a，b的大小关系如何，都有ac2＝bc2，而若ac2＞bc2，则有a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p，则q”形式的命题的否命题是“若┐p，则┐q”，故命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x＜2”，故③为真命题；④由于f(1)f(2)＝＝×＜0，则函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上存在零点，又函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上为增函数，所以函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．
【答案】①②③④
22．已知p：∃x0∈R，mx＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】因为p∨q是假命题，
所以p和q都是假命题．
由p：∃x0∈R，mx＋2≤0为假命题知，
┐p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，
所以m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题知，
┐q：∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0为真命题，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
23．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)．若关于x的不等式f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)的解集为A，函数f(x)在[－8，8]上的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】　∵x≥0，f(x)＝log3(x＋1)为奇函数，
∴函数f(x)在R上为增函数．
∴f(x)在[－8，8]上也为增函数，且f(8)＝log3(8＋1)＝2，f(－8)＝－f(8)＝－2.
∴B＝{x|－2≤x≤2}．
∵f[x2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)，
∴x2＋a(a＋2)≤2ax＋2x，
即x2－(2a＋2)x＋a(a＋2)≤0，
解得a≤x≤a＋2，
A＝{x|a≤x≤a＋2}．
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即
∴－2≤a≤0.
【答案】　[－2，0]