高考数学二轮专题学与练 02 函数的图像与性质（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 02 函数的图像与性质（考点解读）（含解析），共29页。试卷主要包含了函数，函数的性质，函数图象等内容，欢迎下载使用。

专题2 函数的图像与性质

函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．
预计高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．

知识点1．函数
(1)映射：集合A(A中任意x)集合B(B中有唯一y与A中的x对应)．
(2)函数：非空数集A―→非空数集B的映射，其三要素：定义域A、值域C(C⊆B)、对应法则f.
①求函数定义域的主要依据：
(Ⅰ)分式的分母不为零；
(Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零；
(Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
(Ⅴ)正切函数y＝tanx中，x的取值范围是x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z.
②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．
③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y轴上的正投影对应函数的值域．
知识点2．函数的性质
(1)函数的奇偶性
如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
(4)最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M　(或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
知识点3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
(2)利用基本函数图象的变换作图
①平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－h)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.

③对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝f(2a－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．

高频考点一　函数表示及定义域、值域
例1、【2019年高考江苏】函数的定义域是 。
【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域。
由已知得,即，解得，故函数的定义域为。
【举一反三】(2018年江苏卷)函数的定义域为______ _ _。
【答案】[2，+∞)
【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为。
【变式探究】 (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B. C．(－1,0) D.
【解析】由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，所以函数f(2x＋1)的定义域为，选B。
【答案】B
(2)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】∵－2＜1，∴f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝3；
∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝9.
速解法：由f(－2)＝3，∴f(－2)＋f(log212)＞3排除A.
由于log212＞1，要用f(x)＝2x－1计算，则f(log212)为偶数，∴f(－2)＋f(log212)为奇数，只能选C。
【答案】C
高频考点二　函数的奇偶性、对称性
例2、【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象，故选D。
【举一反三】(2018年全国Ⅱ卷)函数的图像大致为(　　)

A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
【变式探究】(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________。
【解析】由已知得f(－x)＝f(x)，
即－xln(－x)＝xln(x＋)，则ln(x＋)＋ln(－x)＝0，
∴ln[()2－x2]＝0，得ln a＝0，
∴a＝1.
【答案】1
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．
故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．
f(x)|g(x)|＝奇，C正确．
【答案】C
高频考点三　函数单调性、周期性与对称性
例3、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合。综上，选D。
【举一反三】(2018年全国Ⅱ卷)若在是减函数，则的最大值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。
【举一反三】(2018年全国Ⅲ卷)函数的图像大致为(　　)

A. A B. B C. C D. D
【答案】D
【解析】当时，，排除A、B；,当时，,排除C，故正确答案选D。
【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法．
2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1) 【变式探究】(1)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________。
【解析】∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)对任意x恒成立，
令x＝1，得f(1)＝f(3)＝3，
∴f(－1)＝f(1)＝3.
速解法：由题意y＝f(x)的图象关于x＝0和x＝2对称，则周期T＝4.
∴f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝3。
【答案】3
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
【解析】∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
速解法：当a＝2时，log2a＝1，a＝－1，原不等式为f(1)＋f(－1)≤2f(1)，即2f(1)≤2f(1)成立，排除B.
当a＝时，原不等式为f(－1)＋f(1)≤2f(1)成立，排除A.
当a＝时，原不等式为f(－2)＋f(2)≤2f(1)，
即f(2)≤f(1)与f(x)为增函数矛盾，排除D。
【答案】C
高频考点四　比较函数值的大小
例4、【2019年高考天津】已知，，，则的大小关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，即，
所以，故选A。
【举一反三】(2018年天津卷)已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.，本题选择D选项.
【变式探究】(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　　B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解析】分别作出y＝log3x，y＝log2x，y＝log5x的图象，在图象中作出a、b、c的值，观察其大小，可得c＞a＞b.

【答案】D
(2)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则(　　)
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【解析】由已知得x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)，
z＝∈(0,1)，又2＜e＜3，∴＜＜，
∴＞＞，得z＝＞，而y＝log52＜log5＝，∴y＜z＜x，故选D.
【答案】D
高频考点五　指数函数、对数函数图象的变换与应用
例5、【2019年高考全国Ⅰ卷】已知，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
【举一反三】【2017课标1】设x、y、z为正数，且，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
【变式探究】若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为(　　)
A. B.
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
【解析】不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，即a≤，所以a的取值范围是，故选B.

【答案】B

1．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
2．【2019年高考天津】已知，，，则的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，即，
所以.
故选A.
3．【2019年高考全国Ⅱ卷】若a>b，则(　　)
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；
由，知B错，排除B；
取，满足，但，则D错，排除D；
因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.故选C．
4．【2019年高考北京】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
5．【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷】函数在的图像大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又排除选项D；
，排除选项A，
故选B．
7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合，综上，选D。
8．【2019年高考全国Ⅱ卷】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为，
所以，
即，
解得，
所以
故选D.
9．【2019年高考全国Ⅲ卷】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则(　　)
A．(log3)＞()＞()
B．(log3)＞()＞()
C．()＞()＞(log3)
D．()＞()＞(log3)
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C。
10．【2019年高考全国Ⅱ卷】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，．
∵时，；
∴时，，；
∴时，，，
如图：

当时，由解得，，
若对任意，都有，则.
则m的取值范围是.
故选B.
11．【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则(　　)
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f(x)﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝(1﹣a)x﹣b＝0，得x，
则y＝f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f(x)﹣ax﹣bx3(a+1)x2+ax﹣ax﹣bx3(a+1)x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f(x)﹣ax﹣b在[0，+∞)上单调递增，
则y＝f(x)﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞)，此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1)，此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f(x)﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f(x)﹣ax﹣b在(﹣∞，0)上有一个零点，在[0，+∞)上有2个零点，
如图：

∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b(a+1)3，
则a>–1，b<0.
故选C．
12．【2019年高考江苏】函数的定义域是 ▲ 。
【答案】
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得,即，解得，故函数的定义域为.
13．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知是奇函数，且当时，.若，则__________。
【答案】
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
14．【2019年高考北京】设函数(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a=________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是___________。
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.，若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
15．【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________。
【答案】
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，可得.
则实数的最大值是.
16．【2019年高考北京】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________。
【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
17．【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ 。
【答案】
【解析】作出函数，的图象，如图：

由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，
则与的图象有2个不同的交点，
由到直线的距离为1，可得，解得，
∵两点连线的斜率，
∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
1. (2018年全国Ⅲ卷)函数的图像大致为(　　)

A. A B. B C. C D. D
【答案】D
【解析】当时，，排除A,B.
,当时，,排除C，故正确答案选D。
2. (2018年浙江卷)函数y=sin2x的图象可能是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.
3. (2018年全国Ⅱ卷)函数的图像大致为(　　)

A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
4 .(2018年全国Ⅱ卷)若在是减函数，则的最大值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。
5. (2018年天津卷)已知，，，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.，本题选择D选项.
6. (2018年全国I卷)已知函数 ．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A. [–1，0) B. [0，+∞) C. [–1，+∞) D. [1，+∞)
【答案】C
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

7. (2018年全国I卷)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
8. (2018年全国Ⅲ卷)设，，则(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.


,即
又
即
故选B.
9. (2018年全国Ⅱ卷)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (　　)
A.-50 B. 0 C. 2 D. 50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C。
1.【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D。
2.【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
3.【2017北京，理5】已知函数，则(　　)
(A)是奇函数，且在R上是增函数 (B)是偶函数，且在R上是增函数
(C)是奇函数，且在R上是减函数 (D)是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.
4.【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是(　　)
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
5.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为(　　)
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，
从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
1.【2016高考新课标3】已知，，，则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
2.【2016年高考北京】已知，，且，则( )
A. B. C.D.
【答案】C

【解析】A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
3.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为(　　)
(A)(B)
(C)(D)

【答案】D
【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除A、B 选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D。
4.【2016高考新课标2】已知函数满足，若函数与图像的交点为则( )
(A)0 (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C。

5.【2016年高考四川】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= 。
【答案】-2
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以.
6.【2016高考浙江】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= 。
【答案】4 2
【解析】设，因为，
因此
7.【2016高考天津】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-，0)上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是______。
【答案】
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．
8.【2016年高考四川】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________(写出所有真命题的序列)。
【答案】②③
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
9.【2016高考山东】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= ( )
(A)−2 (B)−1 (C)0 (D)2
【答案】D
【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
10.【2016高考天津】已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
(A)(0，] (B)[，] (C)[，]{}(D)[，){}
【答案】C
【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
11.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 ▲ 。
【答案】
【解析】，
因此
12.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 ▲ 。
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，
13.【2016年高考北京】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________。
【答案】，.
【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，
①当时，，由图象可知的最大值是；
②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．