高考数学二轮专题学与练 05 不等式与线性规划（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 05 不等式与线性规划（高考押题）（含解析），共14页。

高考押题专练
1．若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2>b2　　　　　　 B.>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b，故选C.
【答案】C
2．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
【解析】由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
【答案】A
3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x·y的最大值为(　　)
A．16 B．8
C．4 D．3
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

又z＝2x·y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.
【答案】A
4．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
【解析】因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.
【答案】C
5．若实数x，y满足不等式组且x－y的最大值为5，则实数m的值为(　　)
A．0 B．－1
C．－2 D．－5
【解析】根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－y，则y＝x－z，当直线y＝x－z过点B(1－m，m)时，z取得最大值5，所以1－m－m＝5⇒m＝－2.

【答案】C
6．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b； ②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd； ④若a>b，则>.
其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】①由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当d ④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，
但 <.故正确的命题有2个．
【答案】B
7．对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】因为存在实数x0(x0≠0)，
使得f(x0)＝－f(－x0)，
则ex0－a＝－e－x0＋a，即ex0＋＝2a，又x0≠0，所以2a＝ex0＋>2＝2，即a>1.
【答案】B
8．若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是(　　)
A．0 B．－2
C．2 D．6
【解析】1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，
即变量x，y满足约束条件
即
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

可得x－2y在A(2，－1)，C(4,3)处取得最大值，最小值分别为4，－2，其和为2.
【答案】C
9．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
【解析】由f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得或
即或
所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
【答案】D
10．已知点P(x，y)满足过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
【解析】不等式组所表示的平面区域为△CDE及其内部(如图)，

其中C(1,3)，D(2,2)，E(1,1)，且点C，D，E均在圆x2＋y2＝14的内部，故要使|AB|最小，则AB⊥OC，因为|OC|＝，所以|AB|＝2×＝4，故选D.
【答案】D
11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【解析】根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.
【答案】D
12．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2＜－ab B．|a|＜|b|
C．＞ D．＞
【答案】C
【解析】当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，＜，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以－＝＞0，所以＞一定成立，故选C．
13．设实数x，y满足，则z＝x＋3y的最大值为(　　)
A．15 B．
C．5 D．6
【答案】D
【解析】法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x＋3y＝0并平移，可知当直线经过点A时z取得最大值，由可得，故A(0，2)，此时zmax＝0＋6＝6.故选D．

法二：作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域的顶点坐标为A(0，2)，B，C(5，0)，分别代入目标函数，对应的z的值为6，，5，故z的最大值为6，故选D．

14．设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
【答案】C
【解析】法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C．
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C．
15．甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D．
16．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【答案】B
【解析】法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.
综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B．
17．已知实数x，y满足.若z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是(　　)
A． B．[0，5]
C．[0，5) D．
【答案】C
【解析】由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．令t＝2x－2y－1，则z＝|t|.t＝2x－2y－1可变形为y＝x－t－，作出直线y＝x，并平移，当直线经过点A时，t取得最小值，所以tmin＝2×－2×－1＝－；当直线y＝x向右下方平移，并接近点C(2，－1)时，t的值趋近于2×2－2×(－1)－1＝5.所以z的取值范围为[0，5)，故选C．

18．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为　(　　)
A．2＋ B．5＋2
C．8＋ D．2
【答案】A
【解析】作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×(a＋b)＝≥(4＋2)＝2＋(当且仅当＝，即b＝a时取等号)．故选A．

19．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋4x＋2，则不等式|f(x－1)|＜|f(x)|的解集为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当x＝0时，f(0)＝2，|f(0)|＝2，f(－1)＝－1＋3－4＋2＝0，|f(－1)|＝0，|f(－1)|＜|f(0)|，即x＝0满足题意，排除C与D选项(不含 x＝0)；当x＝1时f(0)＝2，|f(0)|＝2，f(1)＝1＋3＋4＋2＝10，|f(1)|＝10，|f(0)|＜|f(1)|，即x＝1满足题意，排除B选项(不含x＝1)，故选A．
20．已知实数x，y满足不等式组则该不等式组表示的平面区域的面积为(　　)
A. B.
C．9 D.
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S＝××3＝.故选B.
【答案】B
21．已知实数x，y满足
则z＝4x－y的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．12 D．16
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝4x并平移，结合图象可知当平移后的直线经过点A(2,2)时，z＝4x－y取得最小值，zmin＝4×2－2＝6.故选B.

【答案】B
22．给出下列不等式：①<(a>b)；②x＋≥2(x≠0)；③<(b(a，b，m>0且a A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】对于①，若a＝1，b＝－1，满足a>b，则>，则<(a>b)不恒成立；对于②，若x>0，则x＋≥2，若x<0，则x＋≤－2，则x＋≥2(x≠0)不恒成立；对于③，由b0且a0，则>(a，b，m>0且a 【答案】B
23．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
【解析】设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4cm2.故选C.
【答案】C
24．若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．[2,11]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示.的几何意义是可行域内的点与点P(－1,0)连线的斜率的倒数，连接PA，PB.由得A，所以kPA＝.由得B，所以kPB＝.故的取值范围是.故选A.

【答案】A
25．设实数x，y满足则下列不等式恒成立的是(　　)
A．x≥3 B．y≥4
C．x＋2y－8≥0 D．2x－y＋1≥0
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示：则C(2,3)，B(2,5)，A项，由图可以看出，阴影部分不全在直线x＝3的右侧，故A项不符合题意；B项，由图可以看出，阴影部分不全在直线y＝4的上侧，故B项不符合题意；C项，x＋2y－8≥0，即y≥－x＋4，作出直线y＝－x＋4，由图可以看出，阴影部分都在直线y＝－x＋4的上侧，故C项符合题意；D项，2x－y＋1≥0，即y≤2x＋1，作出直线y＝2x＋1，由图可以看出，阴影部分不全在直线y＝2x＋1的下侧，故D项不符合题意．故选C.

【答案】C
26．若6 A．[9,18] B．(18,30)
C．[9,30] D．(9,30)
【解析】∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，又6 【答案】D
27．设实数x，y满足约束条件 若目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，则实数a等于(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．－1
【解析】作出约束条件的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，数形结合可知目标函数的最优解为B，由得B(－6,0)，所以－6＝a×|－6|，得a＝－1.故选D.

【答案】D
28．已知a>b，ab≠0，下列不等式中：①a2>b2；②2a>2b；③<；④a>b；⑤a 【解析】因为函数y＝2x，y＝x在R上是单调增函数，a>b，ab≠0，所以2a>2b，a>b恒成立；又函数y＝x在R上是单调减函数，a>b，ab≠0，所以ab，ab≠0，a2－b2＝(a－b)(a＋b)和－＝的正负不确定；所以a2>b2，<不恒成立．
【答案】②④⑤
29．已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋y＝0，并平移可知当直线过点A时，z取得最大值，为10，当直线过点B时，z取得最小值．由得即A，所以3×＋＝10，解得m＝5，可得点B的坐标为(2，－1)，所以zmin＝3×2－1＝5.

【答案】5
30．已知x<0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________．
【解析】∵x<0，且x－y＝1，∴x＝y＋1，y<－1，
∴x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，
∵y＋<0，
∴y＋＋＝－≤－，
当且仅当y＝－时等号成立，
∴x＋≤－，
∴x＋的最大值为－.
【答案】－
31．设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为__________．


【解析】作出不等式组

所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得∴zmin＝－5.

【答案】－5
32．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝2－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤.
【答案】
33．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝__________.
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示．

由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点B(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合．综上可知k＝2.
【答案】2
34．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为__________．
【解析】因为x>0，y>0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0 【答案】
35．已知变量x，y满足约束条件且z＝3x＋y的最小值为－1，则常数k＝________.
【解析】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，并平移，结合图象可知，当平移后的直线过点A(x,2)时，z＝3x＋y取得最小值－1，故3x＋2＝－1，解得x＝－1，故A(－1,2)，故－1－4×2＋k＝0，故k＝9.

【答案】9