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高考数学二轮专题学与练 05 不等式与线性规划（考点解读）（含解析）
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这是一份高考数学二轮专题学与练 05 不等式与线性规划（考点解读）（含解析），共28页。试卷主要包含了故选A，7，天狼星的星等是−1， 已知成等比数列，且．若，则等内容，欢迎下载使用。
专题5 不等式与线性规划
与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．
高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
高频考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)若a，b∈R，且a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a2
(2)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集为，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【解析】 (1)∵a>|b|，|b|≥b，∴a>b.故选B.
(2)∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，
∴易知a<0且解得∴不等式x2－bx－a<0可化为x2－5x＋6<0，解得2
【方法技巧】
1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．
2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．
3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.
【举一反三】(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【解析】由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
【答案】C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
【解析】∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)⇔|x|＞|2x－1|⇔x2＞(2x－1)2⇔3x2－4x＋1＜0⇔＜x＜1.故选A.
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
【答案】A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、(1)已知x，y∈R且x－2y－4＝0，则2x＋的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．256
(2)设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】 (1)∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2，y＝－1时等号成立，
∴2x＋的最小值为8，故选B.
(2)∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴＋＝(x＋y)＝a＋1＋＋≥a＋1＋2，
∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题.
【举一反三】若，且，则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、【2019年高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是
A．-1 B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
【举一反三】(2018年天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
【方法技巧】
1．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤
(1)画出可行域；
(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；
(3)求出目标函数的最大值或者最小值．
2．解决线性规划问题应把握三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.
【变式探究】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【解析】基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
【答案】
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
速解法：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
【答案】B
1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
2．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为
A．−7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C．
4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A． 1010.1 B． 10.1
C． lg10.1 D． 10–10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选：A．
5．【2019年高考天津卷理数】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，
故目标函数在点A处取得最大值.
由，得，
所以.
故选C.
6．【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知推不出，
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
7．【2019年高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是
A．-1 B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
8．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
9．【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)
【答案】26，
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，
即该半正多面体棱长为．
10．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
11．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
1. (2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。
2. (2018年浙江卷)已知成等比数列，且．若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
3. (2018年全国I卷理数)设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
4. (2018年北京卷)设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
5. (2018年江苏卷)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时 ，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
6. (2018年全国I卷理数)记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，
当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
所以，故答案是.
7. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n．
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
(Ⅱ)设，数列前n项和为.
由解得.
由(Ⅰ)可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
8. (2018年天津卷)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
(I)求和的通项公式；
(II)设数列的前n项和为，
(i)求；
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
(II)(i)由(I)，有，
故.
(ii)因为，
所以
9. (2018年江苏卷)设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
(1)设，若对均成立，求d的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示)．
【答案】(1)d的取值范围为．
(2)d的取值范围为，证明见解析。
【解析】(1)由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
(2)由条件知：．
若存在d，使得(n=2，3，···，m+1)成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值()．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
10. (2018年江苏卷)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s
(2)求的表达式(用n表示)．
【答案】(1)2 5
(2)n≥5时，
【解析】(1)记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时， ．
11. (2018年全国Ⅱ卷理数) 记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)an=2n–9，(2)Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
12. (2018年全国Ⅲ卷理数)等比数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和．若，求．
【答案】(1)或
(2)
【解析】(1)设的公比为，由题设得．
由已知得，解得(舍去)，或．
故或．
(2)若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
1. (2018年天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
2. (2018年全国I卷理数)已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
3. (2018年全国Ⅲ卷理数)设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
,即
又
即
故选B.
4. (2018年浙江卷)若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
5. (2018年天津卷)已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
6. (2018年北京卷)若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
7. (2018年江苏卷)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
8. (2018年全国I卷理数)若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
9. (2018年全国Ⅱ卷理数)若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
(A)1 (B)3
(C)5 (D)9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.
专题5 不等式与线性规划
与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．
高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
高频考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)若a，b∈R，且a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a2
(2)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集为，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【解析】 (1)∵a>|b|，|b|≥b，∴a>b.故选B.
(2)∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，
∴易知a<0且解得∴不等式x2－bx－a<0可化为x2－5x＋6<0，解得2
【方法技巧】
1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．
2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．
3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.
【举一反三】(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【解析】由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
【答案】C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
【解析】∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)⇔|x|＞|2x－1|⇔x2＞(2x－1)2⇔3x2－4x＋1＜0⇔＜x＜1.故选A.
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
【答案】A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、(1)已知x，y∈R且x－2y－4＝0，则2x＋的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．256
(2)设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】 (1)∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2，y＝－1时等号成立，
∴2x＋的最小值为8，故选B.
(2)∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴＋＝(x＋y)＝a＋1＋＋≥a＋1＋2，
∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题.
【举一反三】若，且，则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、【2019年高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是
A．-1 B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
【举一反三】(2018年天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
【方法技巧】
1．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤
(1)画出可行域；
(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；
(3)求出目标函数的最大值或者最小值．
2．解决线性规划问题应把握三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.
【变式探究】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【解析】基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
【答案】
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
速解法：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
【答案】B
1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
2．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为
A．−7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C．
4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A． 1010.1 B． 10.1
C． lg10.1 D． 10–10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选：A．
5．【2019年高考天津卷理数】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，
故目标函数在点A处取得最大值.
由，得，
所以.
故选C.
6．【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知推不出，
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
7．【2019年高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是
A．-1 B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
8．【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
9．【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)
【答案】26，
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，
即该半正多面体棱长为．
10．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
11．【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
1. (2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。
2. (2018年浙江卷)已知成等比数列，且．若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
3. (2018年全国I卷理数)设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
4. (2018年北京卷)设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
5. (2018年江苏卷)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时 ，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
6. (2018年全国I卷理数)记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，
当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
所以，故答案是.
7. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n．
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
(Ⅱ)设，数列前n项和为.
由解得.
由(Ⅰ)可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
8. (2018年天津卷)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
(I)求和的通项公式；
(II)设数列的前n项和为，
(i)求；
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
(II)(i)由(I)，有，
故.
(ii)因为，
所以
9. (2018年江苏卷)设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
(1)设，若对均成立，求d的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示)．
【答案】(1)d的取值范围为．
(2)d的取值范围为，证明见解析。
【解析】(1)由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
(2)由条件知：．
若存在d，使得(n=2，3，···，m+1)成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值()．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
10. (2018年江苏卷)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s
(2)求的表达式(用n表示)．
【答案】(1)2 5
(2)n≥5时，
【解析】(1)记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时， ．
11. (2018年全国Ⅱ卷理数) 记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)an=2n–9，(2)Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
12. (2018年全国Ⅲ卷理数)等比数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和．若，求．
【答案】(1)或
(2)
【解析】(1)设的公比为，由题设得．
由已知得，解得(舍去)，或．
故或．
(2)若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
1. (2018年天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
2. (2018年全国I卷理数)已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
3. (2018年全国Ⅲ卷理数)设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
,即
又
即
故选B.
4. (2018年浙江卷)若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
5. (2018年天津卷)已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
6. (2018年北京卷)若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
7. (2018年江苏卷)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
8. (2018年全国I卷理数)若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
9. (2018年全国Ⅱ卷理数)若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
(A)1 (B)3
(C)5 (D)9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.
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