高考数学二轮专题学与练 07 三角恒等变换与解三角形（高考押题）（含解析）

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高考押题专练1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝(　　)A.　　　B．－C．5    D．－5【解析】由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝，故tan＝＝＝，选A.【答案】A2．已知sin＝cos，则cos2α＝(　　)A．1   B．－1C.    D．0【解析】因为sin＝cos，所以cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，所以tanα＝＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.【答案】D3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)A．4π  B．8πC．9π  D．36π【解析】c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.【答案】C4．△ABC中，a＝，b＝，sinB＝，则符合条件的三角形有(　　)A．1个  B．2个C．3个  D．0个【解析】∵asinB＝，∴sinB<b＝<a＝，∴符合条件的三角形有2个．【答案】B5．已知cos＋sinθ＝，则sin的值是(　　)A.       B.C．－    D．－【解析】因为cos＋sinθ＝，所以cosθ＋sinθ＝，即＝，即sin＝，所以sin＝，所以sin＝－sin＝－.故选C.【答案】C6．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.      B.C.或  D.或【解析】因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，故2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.【答案】A7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为(　　)A.  B.C.  D.【解析】由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，∵cosB＝＝＝，∴sinB＝＝.【答案】A8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c.则C＝(　　)A.或  B.C.或  D.【解析】cos(A－C)＋cosB＝1，故cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinAsinC＝1.又由已知a＝2c，根据正弦定理得，sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或.∵a>c，∴A>C，∴C＝.【答案】B9．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为(　　)A.  B.C.  D.【解析】因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝，由于0<C<π，故sinC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6.所以S＝absinC＝×6×＝.【答案】A10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC，b＝6，AB边上的点M满足＝2，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是(　　)A．36  B．37C．38  D．39【解析】由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，∴sinC＝1，C＝，∴sinA(1－cosC)＝sinBsinC，即sinA＝sinB，∴A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tanθ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.【答案】A11．已知sin＝，那么cos α＝(　　)A．－　   　B．－C.          D.【答案】C【解析】sin＝sin＝cos α＝.12．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)A.  B.C.  D.【答案】A【解析】tan β＝tan＝＝＝＝，故选A.13．设cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)A.  B．－C.  D．－【答案】B【解析】sin 80°＝＝＝，所以tan 100°＝－tan 80°＝－＝－，故选B.14．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)A．－1  B．－C.   D．1【答案】D【解析】法一：由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，又因为α∈(0，π)，则当cos α＝0时，sin α＝1，不符合题意，所以cos α≠0，所以＝＝1，解得tan α＝1，故选D.法二：由sin α＋cos α＝得：sin＝，即sin＝1，∵0＜α＜π，∴＜α＜，∴α＋＝，即α＝故tan α＝1，故选D.15．若＝，则sin αcos α＝(　　)A．－  B．－C．－  D.【答案】B【解析】法一：由＝，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝＝＝－，故选B.法二：由题意得＝，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos  α∴10sin αcos α＝－3即sin αcos α＝－，故选B.16．若θ∈，sin 2θ＝，则tan θ＝(　　)A.    B.C．2  D.【答案】C【解析】法一：∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，∴sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝2，故选C.法二：由θ∈知tan θ≥1，∴sin 2θ＝，∴＝∴＝解得tan θ＝(舍)或tan θ＝2.17．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan A·tan B等于(　　)A．4    B.C．－4  D．－【答案】B【解析】由条件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cos C＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，所以3cos Acos B＋3sin Asin B－5cos Acos B＋5sin Asin B＝0，即cos Acos B＝4sin Asin B，所以tan Atan B＝，故选B.18．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin的值等于(　　)A.  B.C.  D.【答案】A【解析】∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，则sin＝×－×＝，故选A.19．若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝(　　)A.  B．－C.  D．－【答案】D【解析】由题意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－.20．已知sin＝，则cos的值是(　　)A.      B.C．－  D．－【答案】D【解析】cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.21．已知α满足sin α＝，那么sin·sin的值为(　　)A.  B．－C.  D．－【答案】A【解析】原式＝sincos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝，故选A.22．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin＝(　　)A．－  B．－C.     D.【答案】B【解析】∵a⊥b，∴a·b＝4sin＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，∴sin＝.∴sin＝－sin＝－.23. 已知tan(3π－x)＝2，则＝________.【解析】tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tan x＝2，故tan x＝－2.故＝＝＝－3.【答案】－324．若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ＝________.【解析】法一：原式＝cos2θ(2tan2θ－3tan θ)＝(2tan2θ－3tan θ)＝×(2×22－3×2)＝.法二：原式＝＝＝＝.【答案】25．已知α∈，tan＝，则sin α＋cos α＝________.【解析】依题意，＝，解得tan α＝－＝，因为sin2α＋cos2α＝1且α∈，解得sin α＝，cos α＝－，故sin α＋cos α＝－＝－.【答案】－26．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin α＋cos α的值为________．【解析】根据已知得sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－＝.因为＜α＜，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝.【答案】27．已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．【解析】f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g(x)＝2sin2＝1－cos x.(1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.28．设f(x)＝sin xcos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝.由题意知A为锐角，所以cos A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2sin.(1)求B；(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a＋c的值．【解析】(1)由已知得a＋c＝2bsin，由正弦定理知sinA＋sinC＝2sinB，即sin(B＋C)＋sinC＝sinB(sinC＋cosC)，整理得sinBsinC－cosBsinC＝sinC，因为sinC>0，所以sinB－cosB＝1，即sin＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)知B＝，从而S＝acsinB＝acsin＝ac＝3，所以ac＝12.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－3×12＝(a＋c)2－36，故(a＋c)2＝b2＋36＝(2)2＋36＝64，所以a＋c＝8.30．已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解析】(1)由题易知，＝(，1)，＝(－cosx,1－sinx)，所以f(x)＝(－cosx)＋1－sinx＝4－2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin＝0，则x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，因为0<A<π，所以A＝，因为△ABC的面积S＝bcsinA＝，所以bc＝3.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2.所以△ABC的周长为3＋2.31．在中，、、分别是内角、、的对边，且.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴由正弦定理可得：，即，∵，∴，∵，∴．(2)∵，，的面积为，，∴，∴由余弦定理可得：，即，解得：，∴的周长为.32．已知函数.(1)求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)1；(2).【解析】(1)， 所以. (2)因为，所以，所以.由不等式恒成立，得，解得.所以实数的取值范围为.