高考数学二轮专题学与练 08 平面向量（高考押题）（含解析）

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高考押题专练
1．已知向量，满足，，且与的夹角为，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.故选A.
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)
A．－3　　　 B．－
C. D．3
【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝＝－3.
【答案】A
3．已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
【解析】因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，)，|a|＝＝2，故选D.
【答案】D
4．已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝(　　)
A．1 B.
C. D．4
【解析】∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝＝.故选C.
【答案】C
5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|＋|＝|－|(O为坐标原点)，则锐角θ＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】法一　＋是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，－是对角线向量，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此·＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝.
法二　＋＝(sinθ－1，cosθ＋1)，－＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|＋|＝|－|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.
【答案】C
6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
【解析】依题意得||＝，·＝0，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||·||·cos60°＝3××＝，故选B.
【答案】B
7．已知平面向量a，b的夹角为，则|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】法一　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.
法二　设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A.
【答案】A
8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【解析】(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
【答案】A
9．△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】设向量a，b的夹角为θ，＝－＝2a＋b－2a＝b，∴||＝|b|＝2，||＝2|a|＝2，∴|a|＝1，2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.
【答案】C
10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
【解析】由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．
【答案】B
11．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.

设M(a,2－a)，则0 ∵0 【答案】C
12．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足则点P的轨迹的曲线类型为(　　)
A．双曲线 B．抛物线
C．圆 D．椭圆
【答案】B　
【解析】＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，∴＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．
13．在△ABC中，满足||＝||，(－3)⊥，则角C的大小为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】C　
【解析】设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，由(－3)⊥，可得(－3)·＝(－3)·(－)＝c2＋3b2－4·＝c2＋3b2－4cbcos A＝c2＋3b2－2(b2＋c2－a2)＝0，即b2－c2＋2a2＝0.又由||＝||可得a＝b，则c2＝3a2，由余弦定理可得cos C＝＝＝－，所以△ABC的内角C＝.
14．设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC的度数等于(　　)
A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．90°
【答案】C　
【解析】取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.由题意得3＝2，
∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.
15．若函数f(x)＝2sin(－2 A．－32 B．－16 C．16 D．32
【答案】D　
【解析】函数f(x)＝2sin(－2
16．在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．

【解析】如图，在△AOB中，
＝＝×(＋)＝(＋)，
又·＝||||·cos60°＝6，
∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(||2＋||2＋12)≥×2(||·||＋12)＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．
∴||≥2，故||的最小值是2.
【答案】2
17．已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
【解析】

根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
【答案】
18．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且＋＝，其中O为坐标原点，则的面积等于________．

【解析】如图所示，由||＝||＝||＝1知，▱OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°.
∴S▱OACB＝||||sin 120°＝1×1×＝.
【答案】
19．已知圆的弦的中点为，直线交轴于点，则的值为__________.
【答案】8.
【答案】
【解析】设，圆心，
∵，
根据圆的性质可知，，
∴所在直线方程为，即，
联立方程可得，，
设，，则，
令可得，
，
故答案为：5．
20．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝，n＝，且m与n的夹角为.
(1)求角C；
(2)已知c＝，S△ABC＝，求a＋b的值．
【解析】(1)因为向量m＝，n＝cos ，－sin ，
所以m·n＝cos2 －sin2 ，|m|＝＝1，|n|＝＝1，
又m与n的夹角为，所以cos ＝＝cos2－sin2 ＝cos C＝，
因为0 (2)因为S△ABC＝absin C＝absin ＝ab，
所以ab＝，所以ab＝6，
由余弦定理得，cos C＝，
即＝＝，
解得a＋b＝.
21．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S△ABC＝·.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．
【解析】(1)由已知得acsin B＝accos B，∴tan B＝，
∵0 (2)法一：由余弦定理得4＝a2＋c2－2accos ，即4＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32(当且仅当a＝c时取等号)，解得0 又a＋c>b，∴2 法二：由正弦定理得a＝sin A，c＝sin C，
又A＋C＝，∴a＋c＝(sin A＋sin C)＝[sin A＋sin(A＋B)]＝
＝4＝4sin.
∵0 22．已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
【解析】(1)∵a∥b，
∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，tan x＝－，
∴tan 2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sin xcos x－＋cos2x＋1
＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1＝sin.
∵－≤x≤0，
∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，
∴f(x)在上的值域为.
23．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos x)，b＝(1＋sin x，1)，x∈R，且f＝2.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin x)＋cos x，
由f＝m＋cos＝2，得m＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝sin x＋cos x＋1
＝sin＋1，
∴当sin＝－1时，f(x)取得最小值1－.
24．已知O为坐标原点，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，点P满足＝.
(1)记函数f(α)＝·，α∈，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；
(2)若O，P，C三点共线，求|＋|的值．
【解析】(1)因为＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，所以＝(cos α－sin α，－1)，＝(2sin α，－1)．
设＝(x，y)，则＝(x－cos α，y)．
由＝，得x＝2cos α－sin α，y＝－1，
所以＝(2cos α－sin α，－1)，
＝(sin α－cos α，1)．
于是f(α)＝·＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin2α－2sin αcos α－1
＝－(sin 2α＋cos 2α)
＝－sin.
因为α∈，所以2α＋∈所以函数f(α)的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为sin∈，所以函数f(α)的值域为[－，1)．
(2)由O，P，C三点共线，可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，
解得tan α＝.
所以sin 2α＝＝＝，
于是|＋|＝＝＝.
25．如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.
(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；
(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．

【解析】(1)由题意知A，P的坐标分别为(1，0)，(cos θ，sin θ)．
∵＝＋＝(1，0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)，
∴·＝(1，0)·(1＋cos θ，sin θ)
＝1＋cos θ.
由题意可知S＝sin θ.
∴·＋S＝sin θ＋cos θ＋1
＝sin＋1(0<θ<π)．
∴·＋S的最大值是＋1，
此时θ0＝.
(2)∵B，∠AOB＝α，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴cos(α＋θ0)＝cos
＝cos αcos－sin αsin
＝－×－×＝－.
26．在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝·sin B.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC的面积S.
【解析】(1)因为＝＋，所以·cos C＋·cos A＝·sin B＝(＋)·sin B，
即(cos C－sin B)＋(cos A－sin B)·＝0.
而向量，是两个不共线向量，
所以所以cos C＝cos A，因为A，C∈(0，π)，所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，所以2A＋B＝π，A＝－.
所以cos A＝cos＝sin＝sin B，所以sin＝2sincos，所以cos＝.综合0<<，所以＝，B＝.
(2)由(1)知，则A＝C＝，由正弦定理得，＝，所以||＝2，S△ABC＝||||sin＝×2×2×＝.