高考数学二轮专题学与练 10 数列求和及其应用(考点解读)(含解析)
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这是一份高考数学二轮专题学与练 10 数列求和及其应用(考点解读)(含解析),共28页。试卷主要包含了数列求和的方法技巧,数列的综合问题,由a1=–7得d=2等内容,欢迎下载使用。
专题10 数列求和及其应用
高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主,尤其是错位相减法及裂项求和,题型延续解答题的形式。预测高考对数列求和仍是考查的重点.数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强,复习时应予以关注。
1.数列求和的方法技巧
(1)公式法:直接应用等差、等比数列的求和公式求和。
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和。
(4)裂项相消法
利用通项变形,将通项分裂成两项或几项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和。
(5)分组转化求和法
有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,可先分别求和,然后再合并。
2.数列的综合问题
(1)等差数列与等比数列的综合。
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合。
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题。
数列的实际应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识涉及面广,因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决。
【误区警示】
1.应用错位相减法求和时,注意项的对应。
2.正确区分等差与等比数列模型,正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和。
高频考点一 数列求和
例1、(2018年天津卷)设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(I)求和的通项公式;
(II)设数列的前n项和为,
(i)求;
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为,可得,故.
设等差数列的公差为d,由,可得
由,可得
从而 故
所以数列的通项公式为,
数列的通项公式为
(II)(i)由(I),有,
故.
(ii)因为,
所以
【变式探究】【2017江苏,19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,
从而,当时,
,
所以,
因此等差数列是“数列”.
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时, ,①
当时, .②
由①知, ,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
【解析】(1)由题意得则
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,
∴数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,
则b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,
故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,
则T1=2,T2=3,
当n≥3时,Tn=3+-=
,
∴Tn=
【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和,对任意正整数n,an=2(n+1),3An-Bn=4n.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)记cn=,求{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由于an=2(n+1),
∴{an}为等差数列,且a1=4.
∴An===n2+3n,
∴Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n,
当n=1时,b1=B1=8,
当n≥2时,bn=Bn-Bn-1=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n-1)]=6n+2.
由于b1=8适合上式,
∴bn=6n+2.
(2)由(1)知cn===,
∴Sn=
…+
=
=-.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意知当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,符合上式.
∴an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由即解得
∴bn=3n+1.
(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得
-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2,
∴Tn=3n·2n+2.
高频考点二、数列和函数、不等式的交汇
例4、(2018年江苏卷)设,对1,2,···,n的一个排列,如果当s0,n∈N*.
(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.
(1)【解析】由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,
两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan对所有n≥1都成立,
∴数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而an=qn-1.
由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得
2a3=3a2+2,
即2q2=3q+2,
则(2q+1)(q-2)=0.
由已知,q>0,故q=2.
∴an=2n-1(n∈N*).
(2)证明:由(1)可知,an=qn-1,
∴双曲线x2-=1的离心率
en==.
由e2==解得q=.
∵1+q2(k-1)>q2(k-1),
∴>qk-1(k∈N*).
于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,
故e1+e2+…+en>.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若点(bn,an)在函数y=log2x的图象上,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=2n2+2n-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,
当n=1时,a1=S1=4=4×1,
∴数列{an}的通项公式为an=4n.
(2)由点{bn,an}在函数y=log2x的图象上得an=log2bn,且an=4n,
∴bn=2an=24n=16n,
故数列{bn}是以16为首项,公比为16的等比数列.
Tn==.
高频考点三 数列的应用与综合问题
例3、已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)设bn=log2(S3n+2),数列的前n项和为Tn,求证≤4Tn0,所以Tn
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