高考数学二轮专题学与练 12 空间的平行与垂直（高考押题）（含解析）

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高考押题专练
1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.
【答案】B
2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中正确命题的序号是(　　)
A．①③　　B．①④
C．②③ D．②④
【解析】对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.
【答案】A
3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)

A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
【答案】B
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥n，m∥β，则n∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.
【答案】A
6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)

A．①② B．①②③
C．① D．②③
【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA，
∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
∴OM∥平面PAC.
对于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
【答案】B
7．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是(　　)
A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行
B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直
C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直
【解析】对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故A错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面α内，边AC、BC可以与平面α都成30°角，故B错；

C显然错误；
对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则
直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，
故D正确，故选D.
【答案】D
8．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.

【解析】取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝BC，所以OB∥B1C1，OB＝B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故选C.
【答案】C
9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(　　)

【解析】

如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.
设AB＝BD＝CD＝1，
则AC＝，＝，即PQ＝，
又＝＝，
所以QR＝，
所以PR＝
＝，
所以f(x)＝，其图象是关于直线x＝对称的曲线，排除B、C、D，故选A.
【答案】A
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.
【答案】D
11．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥m，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
【解析】对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m、n异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，所以m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．
【答案】C
12.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
【答案】C
13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．3 D．3
【解析】①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．
【答案】B
14.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

【解析】由＝，得MN∥BD.
而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
【答案】平行
15．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E 为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥E­ABC的体积为定值；
④直线B1E⊥直线BC1.
【解析】因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE­ABC＝V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．
【答案】①②③
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的命题序号是________．

①平面ABD⊥平面ABC　②平面ADC⊥平面BDC
③平面ABC⊥平面BDC　④平面ADC⊥平面ABC
【解析】因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，
所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ADC.
【答案】④
17．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

【解析】由＝，得MN∥BD.
而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
【答案】平行
18．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
【答案】①或③
19．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确命题的个数是________．

【解析】如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，
∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.
【答案】3
20．在矩形ABCD中，AB ①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】如图，若AC⊥BD，已知CF⊥BD，AC∩CF＝C，那么BD⊥平面ACF，则BD⊥AF，这与平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A在平面BCD内的射影落在线段BC上时，AB⊥CD，所以存在某个位置使AB⊥CD；所以②成立；若AD⊥BC，已知BC⊥CD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AC，那么AB>BC，这与已知矛盾，所以③不正确．

【答案】②
21．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．

(1)求证：BC∥平面PAE；
(2)求点A到平面PCD的距离．
【解析】(1)证明：∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，∵AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，
∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
又E为CD中点，
∴AE＝CD＝CE，
∵∠ACD＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA，
∴BC∥AE，
又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，
∴BC∥平面PAE.
(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，
PC＝2，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2，
∵VP－ACD＝VA－PCD，
∴·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，
∴××2×2×2＝×2d，
∴d＝，
∴点A到平面PCD的距离为.
22．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；
(2)求该组合体QPABCD的体积．
【解析】(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.
(2)平面QDB将几何体分成四棱锥B－PADQ和三棱锥Q－BDC两部分，
过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，
所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，
因为BO＝，S四边形PADQ＝3，
所以VB－PADQ＝·BO·S四边形PADQ＝，
因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，
又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝，
所以VQ－BDC＝·S△BDC·QD＝，
所以组合体QPABCD的体积为＋＝.
23．已知等腰梯形ABCD(如图1所示)，其中AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA(如图2所示)，N是线段CD上一动点，且CN＝ND.

(1)求证：MN∥平面EFDA；
(2)求三棱锥A－MNF的体积．
【解析】(1)证明：过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ.由题知，平面EFCB⊥平面EFDA，
又MP⊥EF，平面EFCB∩平面EFDA＝EF，
∴MP⊥平面EFDA.
又EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF＝F，
∴EF⊥平面CFD.
又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF.
又NQ⊥FD，EF∩FD＝F，
∴NQ⊥平面EFDA，
∴MP∥NQ.
又CN＝ND，∴NQ＝CF＝×3＝2，
且MP＝(BE＋CF)＝×(1＋3)＝2，
∴MP綊NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．
∴MN∥PQ.
又∵MN⊄平面EFDA，PQ⊂平面EFDA，
∴MN∥平面EFDA.

(2)法一：延长DA，CB相交于一点H，则H∈CB，H∈DA.
又∵CB⊂平面FEBC，DA⊂平面FEAD.
∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，
即H∈平面FEBC∩平面FEAD＝EF，
∴DA，FE，CB交于一点H，且HE＝EF＝1.
V三棱锥F－CDH＝V三棱锥C－HFD
＝·S△HFD·CF＝，
又由平面几何知识得＝，
则＝，
∴V三棱锥A－MNF＝V三棱锥F－AMN
＝·V三棱锥F－CDH＝×＝1.
法二：V三棱台BEA－CDF＝×EF×(S△BEA＋＋S△CDF)＝×2×＝，
V四棱锥A－BEFM＝×AE×S四边形BEFM＝，
V三棱锥N－ADF＝×2×S△ADF＝2，
V三棱锥N－CFM＝×1×S△CFM＝，
V三棱锥A－MNF＝V三棱台BEA－CDF－V三棱锥N－CFM－V四棱锥A－BEFM－V三棱锥N－ADF＝－－－2＝1.
24．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的中点．

(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)求四棱锥P­ABCD的体积．
(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，如图：

因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点．
又E是PA的中点，所以PC∥OE.
因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以PC∥平面BDE.
(2)【解析】因为PA⊥平面ABCD，
所以VP­ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×2＝，
所以四棱锥P­ABCD的体积为.
25．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝.

(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积VF­DEG.
(1)证明：在等边△ABC中，AD＝AE，
在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，
因此＝，从而DE∥BC.
因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝，BC＝.
所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.
(3)【解析】由(1)知，平面DEG∥平面BCF，
由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，
所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.
在折叠前的图形中，
AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝知＝，
又DG∥BF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，
AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝，故V三棱锥F­DEG＝V三棱锥E­DFG＝×DG·FG·GE＝××＝.
26．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，AC ⊥BM，且BM交AC于点M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.

(1)证明：BF⊥EM；
(2)求三棱锥B­EFM的体积．
【解析】(1)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM，
又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE，
∴BM⊥EM. ①
∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC，
∴FM＝＝，
又EM＝＝3，EF＝＝2，
∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM. ②
由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF.
(2)由(1)知EM⊥平面BMF，
∴VB­EFM＝VE­BMF＝×S△BMF×EM＝××3＝.
27．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，AM＝2.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求三棱锥P­MAC的体积．
【解析】(1)证明：由∠PCB＝90° 得PC⊥CB.
又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC.
又PC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N，连接AN，则CN＝PM＝1，

又PM∥BC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PC∥MN且PC＝MN，
由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，
在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos 120°＝3，即AN＝.
又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1.
在平面ABC内，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，则AH⊥平面PMC，
因为AC＝CN＝1，∠ACB＝120°，所以∠ANC＝30°.
所以在Rt△AHN中，AH＝AN＝，
而S△PMC＝×1×1＝，
所以VP­MAC＝VA­PMC＝×S△PMC×AH＝××＝.
29．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝2a，E是PA的中点．

(1)求证：平面BED⊥平面PAC；
(2)求点E到平面PBC的距离．
【解析】(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PC⊥BD.
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面BED，
∴平面BED⊥平面PAC.
(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．

在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点，
∴EO∥PC.
∵PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，∴EO∥平面PBC.
∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离．
∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC.
在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H，
则OH⊥平面PBC.
在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝AC＝a，
∴OB ＝a.由S△BOC＝OC·OB＝BC·OH，
得OH＝＝＝a.
∴点E到平面PBC的距离为a.
30．如图，已知四棱锥S ­ABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝2，M是SD上任意一点，＝m，且m>0.

(1)求证：平面SAB⊥平面MAC；
(2)试确定m的值，使三棱锥S ­ABC的体积为三棱锥S­MAC体积的3倍．
【解析】(1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.
(2)VS ­MAC＝VM ­SAC＝VD ­SAC＝VS ­ACD，
∴＝·＝·＝·2＝3，
∴m＝2，即当m＝2时，三棱锥S ­ABC的体积为三棱锥S ­MAC体积的3倍．
31．如图，在三棱柱ABC­DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝.点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝，点M在线段CF上，且CM＝CF.

(1)证明：直线GM∥平面DEF；
(2)求三棱锥M­DEF的体积．
【解析】(1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝＝EF，FG＝，∴GE＝.∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，∴AE ＝2，∴AG＝.
如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH.则＝，∴GH＝，由CM＝CF得MF＝＝GH.

∵GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形，
∴GM∥FH.
又GM⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴GM∥平面DEF.
(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM ­DEF＝VG ­DEF.又VG ­DEF＝VF ­DEG＝FG·S△DEG＝FG·S△DAE＝，∴VM ­DEF＝.
32.如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD且BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
33.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

因为F为CD的中点，
所以GF∥DE且GF＝DE.
因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，
所以GF∥AB.
又因为AB＝DE，所以GF＝AB.
所以四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
因为AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
所以AF⊥CD.
因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
所以DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，
所以AF⊥平面CDE.
因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE.
又因为BG⊂平面BCE，
所以平面BCE⊥平面CDE.
34．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

(1)求证：AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．
【解析】(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又DC⊥BD，DC⊂平面BCD，
所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD，
所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB，
且DC∩AD＝D，
所以AB⊥平面ADC.
(2)由(1)知DC⊥平面ABD，
所以AC在平面ABD内的正投影为AD，
即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角．
依题意知tan ∠CAD＝＝，
因为AD＝1，所以DC＝.
设AB＝x(x＞0)，则BD＝，
易知△ABD∽△DCB，所以＝，
即＝，解得x＝，
故AB＝，BD＝，BC＝3.
由于AB⊥平面ADC，
所以AB⊥AC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE＝＝，
同理DE＝＝，
所以S△ADE＝×1× ＝.
因为DC⊥平面ABD，所以VA-BCD＝CD·S△ABD＝.
设点B到平面ADE的距离为d，
则d·S△ADE＝VB-ADE＝VA-BDE＝VA-BCD＝，
所以d＝，即点B到平面ADE的距离为.