高考数学二轮专题学与练 15 椭圆、双曲线、抛物线（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 15 椭圆、双曲线、抛物线（考点解读）（含解析），共31页。
专题15 椭圆、双曲线、抛物线

1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．
2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．

知识点一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)
焦点在x轴上
－＝1(a>0，b>0)
焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)
图象



几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a，y∈R
x≥0，y∈R
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)

轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b

离心率
e＝＝(0b>0)，
由题意得解得c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
【变式探究】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e20，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
【解析】取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，
又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
【答案】A
【变式探究】已知双曲线(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A B
C D
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
【变式探究】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
【解析】由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.
【答案】B
高频考点四　双曲线的几何性质
例4．【2019年全国Ⅱ卷】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．

【变式探究】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
【变式探究】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
【解析】如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.

【答案】D
高频考点五　抛物线的定义及方程
例5．【2019年全国Ⅱ卷】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2
C．2 D．3
【解析】由题知MF：y＝(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，所以M(3，2)．
因为MN⊥l，所以N(－1，2)．
又F(1，0)，所以直线NF的方程为
y＝－(x－1)．
故点M到直线NF的距离是＝2.
【答案】C
【变式探究】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)1
【答案】C
【解析】设(不妨设)，则
，故选C.
【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D．2
【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.
∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率
k＝＝2.
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，
即为2x－y－2＝0，
则点O到该直线的距离为d＝.
由
消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，
∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d
＝××＝.
【答案】C
高频考点六　抛物线的几何性质
例6．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
(1)证明：设l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得y2－2my－4＝0，
Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
·＝x1x2＋y1y2
＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0，
所以⊥，即O在圆M上．
(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，
圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.
【变式探究】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.

【变式探究】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，
联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.
【答案】D

1.【2019年全国Ⅲ卷】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得(舍去)，则M的坐标为．
2.【2019年全国Ⅲ卷】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为( )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
3．【2019年浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
4．【2019年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
5.(2019·全国高考)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=( )
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D　
【解析】由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)．联立消去y并整理，得x2－5x＋4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以＝(3,4)，＝(0,2)．所以·＝3×0＋2×4＝8.故选D.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B.3 C．2 D．4
【答案】B　
【解析】由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.

3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　
【解析】因为＝，所以＝3，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选A.
4．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
【答案】C　
【解析】设双曲线C的一条渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由可得P.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得＝×，化简得3a2＝c2，则e＝.故选C.
5．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A　
【解析】如图，不妨设点A在点B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以双曲线的方程为－＝1.故选A.

6．(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
【答案】B　
【解析】因为a2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦点在x轴上，所以B项正确．故选B.
7．(2018·北京卷)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝__________.
【答案】4
【解析】设焦距为2c，则＝，即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
8．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】因为a2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以e＝＝.
9．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y可得x2＝.由方程组消去y可得x1＝ .由x2＝5x1可得＝5(3k＋2)，两边平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.当k＝－时，x2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意，所以k的值为－.
10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，
于是k＝－.①
由题设得0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝，
从而P，||＝，
于是||＝
＝ ＝2－.
同理，||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列．
设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||
＝|x1－x2|
＝.②
将m＝代入①得k＝－1，
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得
7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，
代入②解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.
11.(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当(或)时，取等号.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　 　)
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
3.【2017浙江，2】椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，选B．
4.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
(A) (B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由题意得 ，选B.
5.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
【解析】 ，所以 ，解得 .
6.【2017课标1，理】已知双曲线C：(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，
而，所以，
点到直线的距离，

在中， ，代入计算得，即，
由得，
所以.
7.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .
故选B.
8.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
9.【2017课标1，理20】已知椭圆C：(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(–1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】(1).(2)见解析。
【解析】(1)由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为(t， )，(t， ).
则，得，不符合题设.
从而可设l： ().将代入得

由题设可知.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时， ，欲使l： ，即，
所以l过定点(2， )
10.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

【答案】(I).
(Ⅱ)的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】
(I)由题意知 ， ，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
(Ⅱ)设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
11.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点.
【答案】(Ⅰ)方程为，抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为.(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由抛物线C： 过点P(1，1)，得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为.
(Ⅱ)由题意，设直线l的方程为()，l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为




，
所以.
故A为线段BM的中点.
12.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(II)设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点(异于点)，直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】(Ⅰ)， .(Ⅱ)，或.
【解析】
(Ⅰ)解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
(Ⅱ)解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
13.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 ▲ .
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则， ， ，则．
14.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】(1)(2)
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
(2)由(1)知， ， .
设，因为点为第一象限的点，故.
当时， 与相交于，与题设不符.
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程： ， ①
直线的方程： . ②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得； ，无解.
因此点P的坐标为.